Следует ли из "конечной" линейности оператора "бесконечная"

[Divergence]

Вы говорите, что утверждение неверно и его нельзя доказать?
Для какой метрики (нормы) надо доказывать это утверждение?

[Otta]

Divergence в сообщении #1057583 писал(а):

Если ряд $\sum^{\infty}_{n=1} f_n(x)$ из функций $f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, дифференцируемых на ограниченном выпуклом множестве $X \subset \mathbb{R}$ сходится хотя бы в одной точке $x_0 \in X$, а ряд $\sum^{\infty}_{n=1} f'_n(x)$ сходится равномерно на $X$, то

$$ A \left(\sum^{\infty}_{n=1} f_n(x) \right) =\sum^{\infty}_{n=1} A f_n(x) \qquad (A:=\frac{d}{dx})$$

Возьмите любой учебник по ТФКП. Вы, кстати, так и не ответили, какие Вы читали. Там Ваше утверждение в обязательном порядке в нужном виде присутствует. Заодно и выясните, какая топология наиболее естественна на пространстве аналитических функций для Ваших нужд.

[Divergence]

Вообще то это вещ. матан, а не ТФКП так как все на $\mathbb{R}$.

Вопрос: Правильно ли я понимаю, что требование "непрерывность оператора дифференцирования" здесь находится в требовании
"ряд $\sum^{\infty}_{n=1} f'_n(x)$ сходится равномерно на $X$"

Вопрос: Здесь (для степенных рядов) наверное рассматривают просто

$$\lim_{n\to \infty}|f'_n(x)-f'(x)|=0$$

Но $| \quad |$ не норма.
Мне все таки не понятно какая метрика (норма) наиболее естественна на пространстве
степенных рядов $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (например, с бесконечным радиусом сходимости)

$$f(x):=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty). $$

[Otta]

Вообще-то аналитические функции и их свойства наиболее естественным образом могут быть рассмотрены на комплексной плоскости. Вещественная аналитичность вторична.

Divergence в сообщении #1057594 писал(а):

Мне все таки не понятно какая метрика (норма) наиболее естественна на пространстве
степенных рядов $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (например, с бесконечным радиусом сходимости)

Учебник по ТФКП прочитали? Нужный результат нашли? Как найдете, можно будет обсудить то же в применении к вещественно-аналитическим, конечно, если вопрос не снимется сам собой.

[Divergence]

Это утверждение есть в Зориче (том 2 глава XVI параграф 3, стр 383), но формулируется как Следствие 5 для Теоремы 4 (сформулирована для семейств функций).
Следствие не доказывается (говорится что вытекает из линейности оператора дифференцирования и теоремы).
Сама теорема 4 доказывается, используя теорему приращений и оценки функций по модулю

$$|f_n(x)-f_m(x)| \le |f_n(x)-f_m(x)- (f_n(x_0)-f_m(x_0))|+ |f_n(x_o)-f_m(x_0)| \le$$ $$ \le \sup|f'_n(\xi)-f'_m(\xi)| |x-x_0| + |f_n(x_o)-f_m(x_0)| $$

и так далее. Причем такие оценки делаются два раза .....

-- 29.09.2015, 12:40 --

Не ужто я неправ, что требование "непрерывность оператора дифференцирования" здесь находится в требовании "ряд $\sum^{\infty}_{n=1} f'_n(x)$ сходится равномерно на $X$"?

[demolishka]

Divergence в сообщении #1057594 писал(а):

Мне все таки не понятно какая метрика (норма) наиболее естественна на пространстве

demolishka в сообщении #1057527 писал(а):

Дифференциальные операторы почти никогда не бывают непрерывными если на их области определения и образе заданы естественные(для этих пространств) топологии.

Перефразирую: непрерывность оператора дифференцирования и наличие естественной топологии - прямо противоположные вещи. Либо будет только одно, либо только другое.

[Divergence]

Вопрос: "непрерывность оператора дифференцирования" означает требование "ряд $\sum^{\infty}_{n=1} f'_n(x)$ сходится равномерно на $X$"?

[Otta]

Нет.

-- 29.09.2015, 17:01 --

PS Все, я от этой темы отписываюсь. Здесь ответы не нужны, здесь нужны показания.

[demolishka]

Divergence, если Вы хотите разобраться в своих вопросах или хотя бы формулировать их так, чтобы они были понятны всем остальным, то освойте соответствующие главы учебника Колмогорова-Фомина, например. Иначе получается так: Вы спрашиваете какую-нибудь ерунду, Вам объясняют что это ерунда, Вы, естественно, не понимаете и продолжаете в том же духе.