2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Квадрат на графике непрерывной функции
Сообщение28.09.2015, 21:07 
Аватара пользователя
Evgenjy в сообщении #1057274 писал(а):
Рассмотрим множество $D=K\setminus A$. Оно замкнуто. Рассмотрим $D$ как топологическое пространство с индуцированной топологией. Множества $B$ и $C$ открыты в этой топологии. Если бы не существовало искомого квадрата, то множество $D$ представляло бы собой объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств, что невозможно.
Убейте не пойму, почему $D$ обязано быть связным

 
 
 
 Re: Квадрат на графике непрерывной функции
Сообщение29.09.2015, 00:06 
Аватара пользователя
iancaple
И мой промах здесь. Расслабился, увидев, что моё замечание как-то учтено.

Вообще квадрат не обязан появляться только посредством перехода узкого прямоугольника в широкий. Он же может возникать при переходе трапеции одного наклона в трапецию другого (изолированная точка в рассматриваемом множестве $D$), так что подобные "соображения непрерывности" могут оказаться вообще тупиковыми.

 
 
 
 Re: Квадрат на графике непрерывной функции
Сообщение29.09.2015, 08:11 
iancaple в сообщении #1057442 писал(а):
Убейте не пойму, почему $D$ обязано быть связным

Вообще все доказательство неверно. Рассмотренные множества вовсе не обязаны быть открытыми. С фазовым пр-ом у меня не получилось.

 
 
 
 Re: Квадрат на графике непрерывной функции
Сообщение29.09.2015, 09:51 
Аватара пользователя
Evgenjy в сообщении #1057548 писал(а):
Рассмотренные множества вовсе не обязаны быть открытыми.

Можете привести какой-нибудь пример?

 
 
 
 Re: Квадрат на графике непрерывной функции
Сообщение29.09.2015, 11:02 
grizzly в сообщении #1057564 писал(а):
Можете привести какой-нибудь пример?

Множество $A$, соответствующее трапециям, всегда открыто. Для множеств $B$ и $C$ возможна следующая ситуация. $f(x_1)=f(x_2)$, где $x_1$ -- локальный минимум, а $x_2$ -- локальный максимум. Тогда $(x_1;x_2)$ -- изолированная точка. Собственно из того, что $A$ открыто получается, что $B\cup C$ -- замкнуто, а из этого можно получить, что каждое из них должно быть замкнуто. Может быть это можно как-то использовать?

 
 
 
 Re: Квадрат на графике непрерывной функции
Сообщение29.09.2015, 11:41 
Аватара пользователя
Evgenjy в сообщении #1057575 писал(а):
Тогда $(x_1;x_2)$ -- изолированная точка.

Это Ваш пример? Как раз о такой изолированной точке я упоминал чуть выше. В введенной Вами топологии эта точка является открытым множеством.

 
 
 
 Re: Квадрат на графике непрерывной функции
Сообщение10.05.2016, 13:01 
Аватара пользователя
Эта задача допускает простое обобщение (скорее, сама стала упрощением известной задачи). Задачу поставил Отто Тёплиц в 1911 г. и формулируется она очень просто.

Задача. Дана простая замкнутая кривая на плоскости. Доказать, что на ней найдутся 4 точки, образующие квадрат.

Усилиями многих математиков задача к концу прошлого века была решена для случая достаточно хорошей кривой а также другие релевантные результаты. Подробности с аккуратными формулировками можно посмотреть здесь.

 
 
 
 Re: Квадрат на графике непрерывной функции
Сообщение11.05.2016, 14:32 
Аватара пользователя
Здесь нашлась интересная обзорная статья 2014 г., в которой по теме вписанных в кривую квадратов собрано всё сразу -- история вопроса, связанные вопросы, обобщения, последние результаты в других размерностях и пр.

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group