Можно ли считать множество точек множеством векторов?

[Munin]

А, понял.

А геометрия (ну, по крайней мере, имхо) ничего против абстрактного мышления не имеет. И против мы́шления...

[arseniiv]

(Оффтоп)

А мне с самого начала думалось, что имелась в виду школьная геометрия, которая всего лишь часть всей. Тогда и противоречий как-то нет.

[ewert]

(Оффтоп)

GrandCube в сообщении #1057317 писал(а):

Если надо выяснить, является ли что-либо подпространством линейного пространства (например, мн-во неотрицательных функций на некотором отрезке для линейного пространства всех функций), то я должен доказать, что данное мн-во - линейное подпространство/не является линейным подпространством?

Перевожу на русский: "для выяснения того, является ли нечто подпространством -- нужно ли выяснять, является ли оно подпространством?"

Xaositect в сообщении #1057409 писал(а):

Вектор - это параллельный перенос :)

Вектор -- это вообще-то не преобразование.

provincialka в сообщении #1057407 писал(а):

И не все вчерашние школьники могут сразу к нему привыкнуть. Поэтому, может быть и полезно их немножко "оторвать от груди" геометрии.

Т.е. для приучения к абстракциям ни в коем случае не следует приводить примеров. А то они, не дай бог, подумают, что абстракции имеют хоть какое-то отношение к реальности.

Интересная ветка.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Геометрия, конечно, против абстрактного мышления ничего не имеет. Даже школьная. Напротив, она всячески за. В учебнике Погорелова, по которому учился аз, грешный, было черным по белому написано: "при доказательстве теорем и решении задач можно пользоваться только аксиомами и ранее доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они кажутся Вам очевидными, пользоваться нельзя"(выделение мое). Так что этот курс геометрии как раз и учил держать в узде наглядно-образное мышление, не разрешать "наглядной очевидности" становиться аргументом. Она может быть эвристикой (подсказывать, каким утверждениям подыскивать доказательства), может быть мнемоническим костылем (наглядный образ куда легче запомнить, чем абстрактную формулировку), но частью доказательства - никогда. Это урок, который, кстати, и мировая математика усвоила далеко не сразу - еще в начале XX в. в респектабельные математические журналы допускались "доказательства", основанные на "геометрической очевидности" (и впоследствии опровергнутые). Не знаю, что там в нынешней школе сделали с логической структурой геометрии (ходят слухи, что что-то ужасное), но понятно, что многие школьники отличать образ от аргумента, наглядно-образное мышление от абстрактного, так и не научились. Что и порождает такие комичные случаи.

[provincialka]

Согласна с arseniiv: имеется в виду школьная геометрия. Или даже так: геометрия, как ее восприняло большинство школьников. И дело даже (ИМХО) не в стиле преподавания... Вы сколько угодно можете говорить об абстрактной сущности геометрии: обычный школьник еще не готов к такому уровню абстракции! Для него это просто скучные и занудные рассуждения, предназначенные для доказательства "очевидных" вещей...

Нет, не спорю, есть отдельные уникумы, которым даже нравилось слово "конгруентность"... Но не все же такие... хм... странные

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Значит, я был необычным (в Вашей классификации) школьником.

[provincialka]

(to Anton_Peplov)

Не сомневаюсь! Это и сейчас заметно! Думаю, вы догадываетесь, что и я тоже... Да-а-а... "Конгруентность"! Это было слово!

-- 28.09.2015, 23:30 --

Помню, довелось мне в одной школе вести доп. занятия... А сразу после моего урока у ребят была геометрия. И что же они делали на моем уроке? По очереди списывали домашнее задание у единственной (!) девочки, которая его делала! А вы говорите "абстракция", "логическое мышление"... Страшно далеки вы от народа, господа!

[Munin]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1057407 писал(а):

Поэтому, может быть и полезно их немножко "оторвать от груди" геометрии. ...

Например, я часто даю студентам такую простую задачку:
Мера -- это функционал на множествах, удовлетворяющий двум свойствам:
неотрицательность $m(A)\geqslant 0$ и
аддитивность $m(A\cup B) =m(A) + m(B)$ если $A$ и $B$ не пересекаются.
Докажите, что из $A\subset B$ следует, что $m(a)\leqslant m(B)$
Догадываетесь, какое выдается "решение"?

Я пытался представить себе геометрическое решение. Получалось что-то вроде такого: заменим элементы множеств (или множества единичной мощности, или если нельзя, минимальные множества, на которых задана $m$) на базисные вектора в каком-то линейном пространстве. Тогда мера получается линейной функцией, неотрицательной в неотрицательном "квадранте" пространства. Здесь, конечно, можно попытаться найти понятиям $A\subseteq B$ и $A\sqcup B,$ но всё-таки, моя геометрическая интуиция никак не помогала в поиске решения. Перевод на геометрический язык не давал ничего нового, а трудностей добавлял.

[provincialka]

Munin

(Оффтоп)

Ну при чем тут геометрия? Я же сказала: пример на уровень абстрактного мышления! А геометрическое восприятие задачи волей-неволей подключает у ребят непосредственные, интуитивные представления.
Кстати, говоря о "мере" я объясняю, что это обобщение понятий "размер", "длина", "площадь", "объем"... Вот и подключаются наивные представления о том, что "больше"

Вам не кажется, что мы ушли от темы довольно далеко и непонятно куда? Не пора ли закрыть эту дискуссию?

[arseniiv]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1057492 писал(а):

А сразу после моего урока у ребят была геометрия. И что же они делали на моем уроке? По очереди списывали домашнее задание у единственной (!) девочки, которая его делала! А вы говорите "абстракция", "логическое мышление"... Страшно далеки вы от народа, господа!

Вы правы, им следовало сначала составить минимальный по времени план списываний* или хотя бы первое приближение** к нему от приведённого самого неоптимального из планов без перерывов между списываниями.

* Не уверен, что выбрал слово, наиболее ассоциирующееся с задуманным. По этой теме ведь есть даже соответствующая теория. Хотел явно описать, что имелось в виду, но получится длинно и испортит всю соль. Хотя я и так уже испортил всю соль, если эту сноску читать.

** Не уверен, стоит считать первым приближением деление пополам или что-то, на что недавно натыкался у Кнута (идея в том, что девочка не обязана отбирать тетрадь после второго списывания, и таким же образом можно скорректировать каждое [упорядоченное] поддерево). Совсем забыл даже, из какой оперы (том про сортировку и поиск, что ли?).

ewert в сообщении #1057486 писал(а):

Вектор -- это вообще-то не преобразование.

Но в плане перехода от аффинного пространства к связанному с ним векторному, коль уж в явном виде дано было сначала первое, параллельные переносы явно выигрывают между классами эквивалентностей упорядоченных пар точек, хотя это, как ни странно, вообще одно и то же с точки зрения теории множеств.

[Munin]

provincialka

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1057497 писал(а):

Ну при чем тут геометрия? Я же сказала: пример на уровень абстрактного мышления! :-)

Да сейчас-то понятно, что ни при чём. Я описываю ход своих мыслей в начале размышлений над задачей.

provincialka в сообщении #1057497 писал(а):

Кстати, говоря о "мере" я объясняю, что это обобщение понятий "размер", "длина", "площадь", "объем"... Вот и подключаются наивные представления о том, что "больше" :-)

Здесь, мне кажется, есть ещё полезный физический образ: мера - это ещё и обобщение понятия "масса, плотность":
можно задать веса отдельных точек, распределение линейной плотности по линии, двумерной плотности по плоской фигуре, трёхмерной плотности по объёму. То есть, это подготавливает к мысли, что меры на одном и том же множестве можно задать разные, и результат интегрирования тоже будет разный. Впрочем, это мелкое замечание, с большой вероятностью вы так и делаете.

provincialka в сообщении #1057497 писал(а):

Не пора ли закрыть эту дискуссию?

Ну что вы! Остановиться болтать - это не в силах человеческих! :-)
(Постараюсь умолкнуть. А то мне тут намекают, что за офтопик тоже, бывает, банят...)

arseniiv

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1057499 писал(а):

Вы правы, им следовало сначала составить минимальный по времени план списываний* или хотя бы первое приближение** к нему от приведённого самого неоптимального из планов без перерывов между списываниями. :D

Списывания можно оптимизировать как по времени, так и по количеству ошибок. Вопрос тонкий.

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1057499 писал(а):

коль уж в явном виде дано было сначала первое, параллельные переносы явно выигрывают между классами эквивалентностей упорядоченных пар точек,

Явно проигрывают, тем более что это ровно одно и то же. "Параллельно переносимые равны" -- не более чем вульгаризация понятия "классов эквивалентности".

И, кстати, этот пример очень хорош для иллюстрации самого понятия факторизации. Но только если до этого вообще дойдёт дело; в рамках стандартной линейной алгебры -- точно не дойдёт. Там желательно в иллюстративных целях использовать именно интуитивное понятие т.наз. "свободных векторов".

И, кстати: Вы видите хоть одно различие между цитированными мною разгильдяйскими формулировками GrandCube и Xaositect?... Они, конечно, внешне выглядят по-разному; однако по степени разгильдяйства -- идентичны абсолютно.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1057503 писал(а):

Списывания можно оптимизировать как по времени, так и по количеству ошибок. Вопрос тонкий.

А такая абстрактная красота вырисовывалась!

ewert в сообщении #1057506 писал(а):

Они, конечно, внешне выглядят по-разному; однако по степени разгильдяйства -- идентичны абсолютно.

По-моему, там контексты разные как минимум.

(Всё, не оффтоплю.)

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1057516 писал(а):

А такая абстрактная красота вырисовывалась!

Можно ещё заняться оптимизацией контроля ошибок: вычислять чексуммы или сверять варианты...

[Ruben]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1057407 писал(а):

Например, я часто даю студентам такую простую задачку:

Мера -- это функционал на множествах, удовлетворяющий двум свойствам:
неотрицательность $m(A)\geqslant 0$ и
аддитивность $m(A\cup B) =m(A) + m(B)$ если $A$ и $B$ не пересекаются.
Докажите, что из $A\subset B$ следует, что $m(a)\leqslant m(B)$

Догадываетесь, какое выдается "решение"?

Anton_Peplov в сообщении #1057430 писал(а):

Что-нибудь в духе "Первое множество больше второго, а значит, и мера у него больше"?

provincialka в сообщении #1057436 писал(а):

Anton_Peplov победил!

Munin в сообщении #1057464 писал(а):

Да. Смешно. А при чём тут вообще геометрия?

provincialka в сообщении #1057466 писал(а):

Munin
Если была бы при чем, я не убрала бы в оффтоп. Это просто пример недостаточно абстрактного мышления

Что интересно, но геометрия может быть как раз причем. Сужу сугубо по себе, но, осознавая свою неуникальность...вообщем, видя условие $A\subset B$, в голове поначалу может возникнуть образ какой нибудь ограниченной области типа круга, которая содержит в себе фигуру поменьше (помните школьные изображения диаграмм Вена для множеств). Тогда неравенство $m(a)\leqslant m(B)$ трактуется "просто" как неравенство площадей. А так как отвечать: "это очевидно" - нельзя, то идут в ход вот такие "обоснования". И чем нагляднее образ, тем меньше мотивации что-то доказывать. Как раз то, о чем говорила provincialka. Когда я доказывал это неравенство, то нарочно не думал о геометрии.