Электростатика

[TripleLucker]

Здравствуйте, у меня вопросы по задаче : Однородный диэлектрик с $\varepsilon = const$ граничит с бесконечной проводящей плоскостью. В диэлектрик помещен диполь с моментом $\overrightarrow p$ на удалении $z$ от плоскости, ориентированный под углом $\alpha$ к нормали. Определить силу взаимодействия диполя с индуцированными зарядами и его потенциальную энергию.

В общем я находил уже напряженность поля диполя на большом расстоянии от зарядов: $\[\overrightarrow E (\overrightarrow r ) = \frac{{3(\overrightarrow p \cdot \overrightarrow r )\overrightarrow r - {r^2}\overrightarrow p }}{{{r^5}}}\]$. Здесь в знаменателе добавится диэлектрическая проницаемость, т.к. находимся в диэлектрике. Я подозреваю, что, так как силу ищем при взаимодействии с проводником (?), то в качестве $\overrightarrow r$ надо рассмотреть $z$, и тогда заменить скалярное произведение произведением длин векторов и косинусом угла между ними, который будет $\alpha$. А затем найти силу по формуле $\overrightarrow F = (\overrightarrow d \cdot \nabla )\overrightarrow E = d\frac{{\partial E}}{{\partial z}}$, которая тоже таким образом упрощается. А энергия из формулы : $\overrightarrow F = - grad\overrightarrow W$. Но т.к. ответ хоть и похож на правду, но неверный, то в рассуждениях где-то дырка, либо они вообще неправильные. Помогите разобраться, пожалуйста.


Есть также совсем маленький вопрос по еще одной задаче: В металлическом шаре радиусом ${R_1}$ есть сферическая полость радиусом ${R_2} < \frac{{{R_1}}}{2}$, центр которой смещен на расстояние $ a$. Заряд $q$ расположен в центре полости, вне шара помещен заряд $Q$ на расстоянии $l>{R_1}$ от центра шара на оси, проходящей по центрам шара и полости. Определить силы, действующие на заряды.

Я ее решил, но меня смущает одно из трех слагаемых в ${F_Q}$, которое есть $\frac{{Qq}}{{{l^2}}}$. Почему ${l^2}$. Выглядит так, будто я считаю q - зарядом всей сферы, потому что если бы не было полости и сфера была бы изолирована с зарядом $q$, то ответ бы не изменился. Спасибо.

[DimaM]

TripleLucker в сообщении #1056763 писал(а):

Я ее решил, но меня смущает одно из трех слагаемых в ${F_Q}$, которое есть $\frac{{Qq}}{{{l^2}}}$.

А какие там остальные два слагаемых? Напишите, пожалуйста (по-моему, слагаемых должно быть два).

TripleLucker в сообщении #1056763 писал(а):

Но т.к. ответ хоть и похож на правду, но неверный, то в рассуждениях где-то дырка, либо они вообще неправильные. Помогите разобраться, пожалуйста.

Почитайте про метод отражений и подумайте, чем можно заменить заряды, индуцированные на проводящей плоскости, для нахождения силы.

[TripleLucker]

DimaM в сообщении #1056788 писал(а):

TripleLucker в сообщении #1056763 писал(а):

Я ее решил, но меня смущает одно из трех слагаемых в ${F_Q}$, которое есть $\frac{{Qq}}{{{l^2}}}$.

А какие там остальные два слагаемых? Напишите, пожалуйста (по-моему, слагаемых должно быть два).

TripleLucker в сообщении #1056763 писал(а):

Но т.к. ответ хоть и похож на правду, но неверный, то в рассуждениях где-то дырка, либо они вообще неправильные. Помогите разобраться, пожалуйста.

Почитайте про метод отражений и подумайте, чем можно заменить заряды, индуцированные на проводящей плоскости, для нахождения силы.

Вот : $\frac{{Qq}}{{{l^2}}} - \frac{{{Q^2}{R_1}l}}{{{{({l^2} - R_1^2)}^2}}} + \frac{{{Q^2}{R_1}}}{{{l^3}}}$. Ответ собственно такой же. Два слагаемых от двух фиктивных зарядов (один в центре, другой симметрично оносительно сферы)

Метод отражений? У нас только был изображений. Видимо, нужно разместить такой же диполь с другой стороны проводника (фиктивные 2 заряда, так сказать)?

[AnatolyBa]

Видимо еще сказано. что шар изолирован, так?
Заряд $q$ внутри полости индуцирует заряд $-q$ на внутренней поверхности,
т.е. заряд $q$ оказывается распределен на внешней поверхности шара, можно доказать, что равномерно.
Он и создает силу $ \frac{qQ}{l^2}$

[TripleLucker]

AnatolyBa в сообщении #1056817 писал(а):

Видимо еще сказано. что шар изолирован, так?
Заряд $q$ внутри полости индуцирует заряд $-q$ на внутренней поверхности,
т.е. заряд $q$ оказывается распределен на внешней поверхности шара, можно доказать, что равномерно.
Он и создает силу $ \frac{qQ}{l^2}$

Не сказано, я полностью задачу переписал с задачника, но, думаю, предполагается. В общем тут понятно, спасибо. Осталось с первой разобраться.

[AnatolyBa]

А с первой - метод отражений/изображений.
Вы же правильно поняли

[TripleLucker]

AnatolyBa в сообщении #1056930 писал(а):

А с первой - метод отражений/изображений.
Вы же правильно поняли

Я это понял, потому что обычно задачи, в которых присутствует проводник решаются этим методом. Но тут туго как-то. Получается, я располагаю заряд $-q$ симметрично $q$, и заряд $q$ симметрично $-q$, оба на одинаковых расстояних от проводника? То, что граничные условия выполняются, мы уже проверяли, т.к. можно рассматривать как просто два точечных заряда. При поиске поля такой конструкции просто нужно сложить поля двух одинаковых диполей? Мы не решали нормальных задач на проводник, к сожалению.

[AnatolyBa]

Ну да, диполь и отражается как диполь.
Т.е. силу нужно считать, как силу взаимодействия между двумя диполями

[TripleLucker]

AnatolyBa в сообщении #1056942 писал(а):

Ну да, диполь и отражается как диполь.
Т.е. силу нужно считать, как силу взаимодействия между двумя диполями

Нужно смотреть, как действуют друг на друга попарно заряды разных диполей? (четыре компоненты) Или это проще делается? У меня ничего не выходит нормального.

[AnatolyBa]

Но ведь у вас же уже почти все есть - и формула для напряженности диполя, и формула для силы (кстати, почему там $\vec{d}$ а не $\vec{p}$ ? ).
Надо только аккуратно все подставить. Учесть, что расстояние между диполями $2z$ , учесть угол в формуле для силы

[TripleLucker]

AnatolyBa в сообщении #1056952 писал(а):

Но ведь у вас же уже почти все есть - и формула для напряженности диполя, и формула для силы (кстати, почему там $\vec{d}$ а не $\vec{p}$ ? ).
Надо только аккуратно все подставить. Учесть, что расстояние между диполями $2z$ , учесть угол в формуле для силы

Должно быть все просто, но на каждом моменте ступор.

Там $\vec{p}$, опечатался, формулы с разных мест тянул.

Я правильно расположил все здесь?
Просто, если я возьму в качестве $\vec{r}$ $2z$ ($2z$ никуда не направлять, а просто, как раскрывать произведение), то непонятно, куда его направлять, и из-за этого я не могу нормально раскрыть все эти скалярные произведения и привести все остальное к скалярному виду, это единственная проблема, по сути. Общее поле будет направлено вдоль проводника?

[AnatolyBa]

Рисунок правильный.
$(\vec{p}\vec{r})=2zp\sin\alpha$

Что такое общее поле? Вообще-то поле на границе с проводником перпендикулярно границе

Кстати, я сейчас исчезаю на неделю, так-что дальше сами

[TripleLucker]

AnatolyBa в сообщении #1056956 писал(а):

Рисунок правильный.
$(\vec{p}\vec{r})=2zp\sin\alpha$

Что такое общее поле? Вообще-то поле на границе с проводником перпендикулярно границе

Кстати, я сейчас исчезаю на неделю, так-что дальше сами

Просто в ответе только косинус фигурирует, я тоже сначала так раскрыл. Ладно, разберусь как-нибудь, спасибо!

[TripleLucker]

Тема еще в действии. Тот, кому все это так же очевидно и просто, как AnatolyBa , может оставить свое мнение, ибо мои попытки сойтись с ответом безуспешны.

[AnatolyBa]

TripleLucker в сообщении #1057372 писал(а):

Тот, кому все это так же очевидно и просто, как AnatolyBa

Тут вот какое дело. Вроде здесь нельзя прямо подсказывать. Я новичек, не хочу чтобы выгнали.
Если еще актуально - напишите свои выкладки, правильный ответ, неправильный ответ, будем разбираться.
Один мелкий момент - кажется у вас угол неправильно обозначен.
В условии сказано угол к нормали, а у вас нарисунке - угол к плоскости.
Это может объяснить синус вместо косинуса или наоборот.