Диофантово уравнение

[scwec]

Докажите, что при любом натуральном $k\ge{2}$ диофантово уравнение

$$\frac{(p^2+q^2)(r^2-s^2)}{(p^2-q^2)(r^2+s^2)}=k^2-3$$

имеет решение в натуральных числах $p,q,r,s$.

[Dave]

Пусть $p=\frac {k(k^2-1)} 2 + 1$, $q=\frac {k(k^2-1)} 2 - 1$, $r=\frac {k(k^2-3)} 2 + (k^2-1)$, $s=\frac {k(k^2-3)} 2 - (k^2-1)$. При $k=2$ нужно взять $s$ по модулю.
Тогда $p^2+q^2=r^2+s^2$, а $r^2-s^2=(k^2-3)(p^2-q^2)$.

[scwec]

Совершенно верно.
Вообще, представляет интерес нахождения решений предложенного уравнения, когда в правой части стоит произвольное натуральное число $N$. Решения имеются, если только $N=1,6,13,16,18,22,23,32,33,...$ ($1,6,13,22,33$ имеют вид $k^2-3$).
Задача такая - напишите следующее за $33$ число $N$, при котором уравнение имеет решение.

[scwec]

Продолжение последовательности чисел $N$, при которых существуют решения уравнения после $N=33$ такое:$35,36,37,41,42,43,44,45,46,50,51,53,57,58,59,60,61,63,67,69,70,74,75,77,78,79...$
При $N=35$ решение, например, $p=71,q=69,r=99,s=1$
В качестве очередной задачи - можно найти решение уравнения при $N=36$.
P.S. Последовательность до определённых пределов легко продолжается. $N$ включается в неё, если ранг кривой $y^2=x^3-(N^2+1)x^2+N^2{x}$ больше нуля.
Не знаю, есть ли эта последовательность в OEIS.

[maxal]

scwec в сообщении #756187 писал(а):

Не знаю, есть ли эта последовательность в OEIS.

Нет. Добавьте, пожалуйста.

[scwec]

Предварительное добавление в OEIS вчера сделал.

Теперь одно из решений для $N=36$.
$p=11821,q=11587,r=15349,s=6197$. Конечно, оно получено не машинным перебором.
Похожий способ решения я здесь где-то излагал. Надо посмотреть.

Проверил решение на $N=37$. Здесь $p=4241,q=4131,r=5879,s=699$.

[maxal]

scwec в сообщении #756657 писал(а):

Предварительное добавление в OEIS вчера сделал.

Для галочки - это последовательность A228380.

[sergei1961]

$p=r, q=s, k=2$ (шутка). Но формулировку надо подправить, или нет?

[grizzly]

sergei1961 в сообщении #1056239 писал(а):

$p=r, q=s, k=2$ (шутка). Но формулировку надо подправить, или нет?

Нет, поскольку существуют другие натуральные числа больше двух. Это если я правильно понял шутку

[scwec]

Если рассмотреть похожее на рассмотренное уравнение $\dfrac{(p^2-q^2)rs}{pq(r^2-s^2)}=N$, то оказывается,
что оно разрешимо в натуральных числах для $N=7,10,11,12,14,17,19,22,23,27,28,29,...$.
Желающие могут доказать, что эта последовательность $N$ точно совпадает с последовательностью A117319 из OEIS,
связанной с решением проблемы Лича.