Эргодические динамические системы

[unistudent]

Заглянул в тему "Теорема Пуанкаре о возвращении". Оттуда сразу в википедию, там такая формулировка:

Пусть $T$ - сохраняющее меру преобразование пространства с конечной мерой $(X,\mu)$ и пусть $A \subset X$ - измеримое множество. Тогда для некоторого натурального $N$

$$\mu\left(\{x \in A: \{T^n(x)\}_{n \ge N} \subset X\backslash A\}\right) = 0$$

Что означает $\{T^n(x)\}_{n \ge N} $, множество $\{T^n(x), n \ge N\}$, или просто $T^n(x)$ для некоторого $n \ge N$? (Мне почему-то больше нравится второе)

И еще, можно ли показать на простом примере, что такое фазовое среднее динамической системы?

[g______d]

unistudent в сообщении #1056122 писал(а):

Что означает $\{T^n(x)\}_{n \ge N} $, множество $\{T^n(x), n \ge N\}$, или просто $T^n(x)$ для некоторого $n \ge N$? (Мне почему-то больше нравится второе)

Первое. Во-первых, по смыслу (указанное включение означает, что после какого-то времени траектория никогда не вернется в $x$). Во-вторых, потому что $\subset$.

[unistudent]

g______d
Включение $\subset$ подразумевает множество, это да. Но $\{T^n(x)\}$ можно интерпретировать и как $\{T^n(x), x \in A\}$. По поводу невозврата траектории в исходное положение, я понял, что как раз наоборот, фазовая траектория обязательно снова окажется в $A$.

[g______d]

unistudent в сообщении #1056140 писал(а):

Но $\{T^n(x)\}$ можно интерпретировать и как $\{T^n(x), x \in A\}$.

Нельзя, потому что переменная $x$ уже задействована до этого.

unistudent в сообщении #1056140 писал(а):

По поводу невозврата траектории в исходное положение, я понял, что как раз наоборот, фазовая траектория обязательно снова окажется в $A$.

Обязательно для почти всех $x$ из $A$. Именно это там и написано: мера множества тех $x$ из $A$, для которых она не вернется в $A$, равна нулю.

[unistudent]

g______d, дошло, спасибо:)
А о фазовом среднем, не погружаясь глубоко в священные писания, можно получить представление? В сети не нашел.