2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Эргодические динамические системы
Сообщение23.09.2015, 23:33 
Заглянул в тему "Теорема Пуанкаре о возвращении". Оттуда сразу в википедию, там такая формулировка:

Пусть $T$ - сохраняющее меру преобразование пространства с конечной мерой $(X,\mu)$ и пусть $A \subset X$ - измеримое множество. Тогда для некоторого натурального $N$
$$\mu\left(\{x \in A: \{T^n(x)\}_{n \ge N} \subset X\backslash A\}\right) = 0$$

Что означает $\{T^n(x)\}_{n \ge N} $, множество $\{T^n(x), n \ge N\}$, или просто $T^n(x)$ для некоторого $n \ge N$? (Мне почему-то больше нравится второе)

И еще, можно ли показать на простом примере, что такое фазовое среднее динамической системы?

 
 
 
 Re: Эргодические динамические системы
Сообщение24.09.2015, 00:07 
Аватара пользователя
unistudent в сообщении #1056122 писал(а):
Что означает $\{T^n(x)\}_{n \ge N} $, множество $\{T^n(x), n \ge N\}$, или просто $T^n(x)$ для некоторого $n \ge N$? (Мне почему-то больше нравится второе)


Первое. Во-первых, по смыслу (указанное включение означает, что после какого-то времени траектория никогда не вернется в $x$). Во-вторых, потому что $\subset$.

 
 
 
 Re: Эргодические динамические системы
Сообщение24.09.2015, 00:33 
g______d
Включение $\subset$ подразумевает множество, это да. Но $\{T^n(x)\}$ можно интерпретировать и как $\{T^n(x), x \in A\}$. По поводу невозврата траектории в исходное положение, я понял, что как раз наоборот, фазовая траектория обязательно снова окажется в $A$.

 
 
 
 Re: Эргодические динамические системы
Сообщение24.09.2015, 01:03 
Аватара пользователя
unistudent в сообщении #1056140 писал(а):
Но $\{T^n(x)\}$ можно интерпретировать и как $\{T^n(x), x \in A\}$.


Нельзя, потому что переменная $x$ уже задействована до этого.

unistudent в сообщении #1056140 писал(а):
По поводу невозврата траектории в исходное положение, я понял, что как раз наоборот, фазовая траектория обязательно снова окажется в $A$.


Обязательно для почти всех $x$ из $A$. Именно это там и написано: мера множества тех $x$ из $A$, для которых она не вернется в $A$, равна нулю.

 
 
 
 Re: Эргодические динамические системы
Сообщение24.09.2015, 09:24 
g______d, дошло, спасибо:)
А о фазовом среднем, не погружаясь глубоко в священные писания, можно получить представление? В сети не нашел.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group