Сумма аналитична - Всегда ли аналитичны слагаемые?

[Divergence]

Правильно ли следующее утверждение?
Если вещественно-значная функция $f(x)$, где $x\in \mathbb{R}$, представима в виде ряда

$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty) $$

то всегда можно представить $f(a \pm x)$ в виде ряда

$$f(a \pm x)=\sum^{\infty}_{n=0} b_n \, x^n \quad (|x| <\infty) ?$$

Здесь $a \in \mathbb{R}$ произвольное число.
Доказательство: Делаем замену переменной $x'=a \pm x$ и используем бином Ньютона. (Правильно ли?)

Верно ли следующее "обратное" утверждение?
Если разность вещественно-значных функций можно представима в виде ряда

$$f(a+x)-f(a-x)=\sum^{\infty}_{n=0} c_n \, x^n \quad (|x|\infty) $$

то и саму вещественно-значную функцию $f(x)$ можно ли представима в виде ряда

$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty) ?$$

Или для этого "обратного" утверждения можно придумать контр-пример?

[Brukvalub]

Первое - верно, только доказательство хромает - сходимость ряда не очень-то видна "из бинома", второе утв. ошибочно - стройте контрпример.

[Divergence]

А как увидеть сходимость?
На чем может базироваться контрпример?

[Brukvalub]

Divergence в сообщении #1056008 писал(а):

А как увидеть сходимость?
На чем может базироваться контрпример?

Для обоснования сходимости можно применить иную схему рассуждений. Контрпример можно предъявить, нарисовав график функции.

[Divergence]

И что это за иная схема рассуждений и на чем она базируется?