2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сумма аналитична - Всегда ли аналитичны слагаемые?
Сообщение23.09.2015, 15:36 
Аватара пользователя
Правильно ли следующее утверждение?
Если вещественно-значная функция $f(x)$, где $x\in \mathbb{R}$, представима в виде ряда
$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty) $$
то всегда можно представить $f(a \pm x)$ в виде ряда
$$f(a \pm x)=\sum^{\infty}_{n=0} b_n \, x^n \quad (|x| <\infty) ?$$
Здесь $a \in \mathbb{R}$ произвольное число.
Доказательство: Делаем замену переменной $x'=a \pm x$ и используем бином Ньютона. (Правильно ли?)

Верно ли следующее "обратное" утверждение?
Если разность вещественно-значных функций можно представима в виде ряда
$$f(a+x)-f(a-x)=\sum^{\infty}_{n=0} c_n \, x^n \quad (|x|\infty) $$
то и саму вещественно-значную функцию $f(x)$ можно ли представима в виде ряда
$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty)  ?$$
Или для этого "обратного" утверждения можно придумать контр-пример?

 
 
 
 Re: Сумма аналитична - Всегда ли аналитичны слагаемые?
Сообщение23.09.2015, 15:43 
Аватара пользователя
Первое - верно, только доказательство хромает - сходимость ряда не очень-то видна "из бинома", второе утв. ошибочно - стройте контрпример.

 
 
 
 Re: Сумма аналитична - Всегда ли аналитичны слагаемые?
Сообщение23.09.2015, 15:51 
Аватара пользователя
А как увидеть сходимость?
На чем может базироваться контрпример?

 
 
 
 Re: Сумма аналитична - Всегда ли аналитичны слагаемые?
Сообщение23.09.2015, 16:07 
Аватара пользователя
Divergence в сообщении #1056008 писал(а):
А как увидеть сходимость?
На чем может базироваться контрпример?

Для обоснования сходимости можно применить иную схему рассуждений. Контрпример можно предъявить, нарисовав график функции.

 
 
 
 Re: Сумма аналитична - Всегда ли аналитичны слагаемые?
Сообщение23.09.2015, 16:08 
Аватара пользователя
И что это за иная схема рассуждений и на чем она базируется?

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group