Векторная геометрия. Задача на доказательство.

[Munin]

Подразумевается не механический смысл "центра тяжести", то есть никаких заморочек с неоднородностью гравитации :-)

Я придумал несколько деформаций правильных многоугольников, которые не портят этого свойства, но кажется, в общем задача не имеет красивого ответа, как мне подсказали. Возможно, получится такой класс фигур, что для них наиболее кратким математическим описанием как раз и будет "такие, для которых центр тяжести площади совпадает с центром тяжести вершин" :-)

[grizzly]

Munin в сообщении #1055928 писал(а):

Я придумал несколько деформаций правильных многоугольников, которые не портят этого свойства, но кажется, в общем задача не имеет красивого ответа

Но для четырёхугольника имеет. Необходимым является то же условие:

grizzly в сообщении #1055913 писал(а):

Очевидно достаточным условием является центральная симметричность фигуры.

[Munin]

Получается, "красивость" ответа быстро портится с ростом $n.$ Жаль, я надеялся, что от $n$ он не зависит.

[grizzly]

Может, это тот редкий случай, когда всё обобщение уходит в размерность? У симплекса любой размерности центроид вершин совпадает с центром тяжести. Я предполагаю, что и для би-симплекса (или как это по-русски?) любой размерности критерий центральной симметричности будет в силе.

А при увеличении числа точек на плоскости полный швах. Интересно было бы упростить хоть как-то постановку задачи. Например -- какие условия нужно наложить на четырёхугольник, чтобы его можно было достроить пятой точкой для нужного пятиугольника? (И думаю пока только выпуклыми мыслями.)

[Munin]

grizzly в сообщении #1055987 писал(а):

Я предполагаю, что и для би-симплекса (или как это по-русски?) любой размерности критерий центральной симметричности будет в силе.

Би-симплекс - это два симплекса, склеенные по грани? Это довольно скучная фигура...

grizzly в сообщении #1055987 писал(а):

Например -- какие условия нужно наложить на четырёхугольник, чтобы его можно было достроить пятой точкой для нужного пятиугольника?

Думаю, любой четырёхугольник можно достроить. (Если позволять пятиугольнику невыпуклость и самопересечения.)

А вот любой ли $(n-1)$-угольник можно достроить?..