Найти длину стороны треугольника

[bekas]

По-моему, самое простое решение через подобие треугольников...

[KPEHgEJIb]

Brukvalub,
$c=\frac{b(c^2-b^2)}{l^2}$

Я теперь совсем запутался. Надо выразить $c$ через $a$ и $b$. Что эта система даёт?

Ответ задачи у меня есть, но до него дойти не могу.

[Батороев]

KPEHgEJIb писал(а):

Ответ задачи у меня есть, но до него дойти не могу.

А Вы не пробовали воспользоваться советом:

rdes писал(а):

используя теорему косинусов, получено:

$$ c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos 3x $$

Далее, пользуемся теоремой синусов и упрощая, имеем:

$$ \cos x = \frac{a} {{2b}} $$

Дальше, только подставляем полученный косинус.. поскольку

$$ \cos 3x = 4\cos ^3 x - 3\cos x $$

[KPEHgEJIb]

Батороев,

rdes писал(а):

используя теорему косинусов, получено:

$$ c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos 3x $$

Далее, пользуемся теоремой синусов и упрощая, имеем:

$$ \cos x = \frac{a} {{2b}} $$

Дальше, только подставляем полученный косинус.. поскольку

$$ \cos 3x = 4\cos ^3 x - 3\cos x $$

С теоремой косинусов всё понятно, но как получается $\cos{x}=\frac{a}{2b}$ через теорему синусов? Надо представить $\sin{x}$ как $\cos({\frac{\pi}{2}}-x)$?

[bekas]

Обозначая KC через x и используя свойство биссектрисы, получим
первое уравнение:

$\frac{x}{a-x}=\frac{b}{c}$

Из подобия треугольников ABC и KAC получим второе уравнение:

$\frac{x}{b}=\frac{b}{a}$

Решая совместно эти уравнения без всяких косинусов находим c.

[Brukvalub]

KPEHgEJIb писал(а):

Brukvalub,
$c=\frac{b(c^2-b^2)}{l^2}$

Я теперь совсем запутался. Надо выразить $c$ через $a$ и $b$. Что эта система даёт?

Ответ задачи у меня есть, но до него дойти не могу.

Так добавьте к выписанной мной системе еще тривиальное уравнение l+x=a

[KPEHgEJIb]

Ура! Получилось $c=\frac{|a^2-b^2|}{b}$

[bekas]

Только модуль здесь зачем?

[rdes]

KPEHgEJIb писал(а):

С теоремой косинусов всё понятно, но как получается $\cos{x}=\frac{a}{2b}$ через теорему синусов? Надо представить $\sin{x}$ как $\cos({\frac{\pi}{2}}-x)$?

Поясняю:

$$ \frac{b} {{\sin x}} = \frac{a} {{\sin 2x}} \Rightarrow \frac{b} {{\sin x}} = \frac{a} {{2\sin x\cos x}} \Rightarrow b = \frac{a} {{2\cos x}} \Rightarrow \cos x = \frac{a} {{2b}} $$

Добавлено спустя 1 минуту 59 секунд:

KPEHgEJIb писал(а):

Ура! Получилось $c=\frac{|a^2-b^2|}{b}$

bekas писал(а):

Только модуль здесь зачем?

конечно не нужен. В Вашей задаче

$$ a > b $$

(напротив большей стороны лежит больший угол и наоборот)

[KPEHgEJIb]

bekas, действительно, не нужен. Не подумал о том, что $a$ не может быть меньше $b$.

rdes, о, спасибо, теперь всё понял

[bekas]

Из предложенной мною системы уравнений в решении вообще бы модуль не появился (то есть даже анализировать длины сторон не пришлось)...