Квантование момента

[amon]

ИгорЪ в сообщении #1055769 писал(а):

Я правильно понимаю, вы рассматриваете частицу на цилиндре в естественной и произвольной системе координат?

Да!

[ИгорЪ]

Изучая пример amon я пришел к следующему.
На цилиндре в хорошей системе координат квантование импульса очевидно, а в произвольной не так прямо, но тоже обнаруживаемо. На плоскости квантования нет, но если перейти к полярной системе - мы выкалываем точку начала координат и эффективным образом переносимся на цилиндр со всеми вытекающими последствиями. То же относится и к моменту двумерный частицы: в декартовых координатах дискретного момента не найти, а в полярных он очевиден. Убедите меня что это бред.

[amon]

ИгорЪ в сообщении #1055802 писал(а):

в декартовых координатах дискретного момента не найти

Плохо ищите. В этом и этом сообщениях содержится достаточно информации, что бы написать ответ в декартовых координатах.

[ИгорЪ]

Для двумерного осциллятора согласен, но для свободной частицы нет.

[amon]

ИгорЪ в сообщении #1055820 писал(а):

Для двумерного осциллятора согласен, но для свободной частицы нет.

Внимательно прочитайте эти два сообщения. В них написан рецепт (один из возможных) получения собственных функций и собственных значений для $L_z$ на полной плоскости без перехода к цилиндрическим координатам.

[ИгорЪ]

Да, действительно, вы, кажется, правы. Сильно. Тем не менее, я еще подумаю, но если работать без повышающих и понижающих, просто в декартовых, то с. ф оператора момента $\Psi=\Phi(x^2+y^2)(x+iy)^{i\lambda}$ где $\Phi$ произвольная функция, и как здесь получить дискретность с. з $\lambda$ мне пока не ясно

[g______d]

ИгорЪ в сообщении #1055864 писал(а):

с. ф оператора момента $\Psi=\Phi(x^2+y^2)(x+iy)^{i\lambda}$ где $\Phi$ произвольная функция, и как здесь получить дискретность с. з $\lambda$ мне пока не ясно

Написанное выражение при произвольном $\lambda$ просто не является функцией на $\mathbb R^2$, поэтому говорить о том, является ли оно чьей-то собственной функцией, вообще говоря, бессмысленно. Вы, наверное, возразите, что я в этой фразе использую "условие однозначности". Хорошо, давайте не использовать. Тогда это будет функция на римановой поверхности логарифма.

Указанный оператор, действительно, можно рассматривать на римановой поверхности логарифма, и спектр у него будет непрерывный. На Вашем языке -- без условия однозначности "квантования" нет.

[ИгорЪ]

g______d
Я там слегка ошибся: с.ф. $\Psi= \Phi z^\lambda$ и требование однозначности мгновенно дает дискретность $\lambda$, вот только с физической интерпретацией этого требования, кроме "здравый смысл" я затрудняюсь, поскольку известна физика с функцией Лафлина, где $\lambda$ дробная.

[amon]

ИгорЪ в сообщении #1055980 писал(а):

функцией Лафлина, где $\lambda$ дробная.

Зато у Лафлина ваша $z$ вещественная (одномерная), а в этом случае функция будет однозначной. В Вашем случае важно, что бы при обходе по любому контуру и возврате в данную точку волновая функция осталась прежней. В это место запрятались те самые условия периодичности. Поэтому, если я ищу волновую функцию как аналитическую функцию комплексного переменного $z$, то единственной функцией будет та, что получается из решения peregoudov'а, поскольку там получится аналитическая функция без особенностей в комплексной плоскости (полином). Если аналитичность не нужна, то следует явно следить за однозначностью.

[SergeyGubanov]

На сколько я понял...

$$ \hat{L}_{\varphi} = - i \left( x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x} \right) = \hat{a}^{\dag} \hat{a} - \hat{b}^{\dag} \hat{b} $$

$$ \hat{a}^{\dag} = \frac{1}{2} \left( i x + y + i \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} \right), \quad \hat{a} = \frac{1}{2} \left( -i x + y + i \frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial y} \right) $$

$$ \hat{b}^{\dag} = \frac{1}{2} \left( x + i y + \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right), \quad \hat{b} = \frac{1}{2} \left( x - i y - \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right) $$

$$ \left[ \hat{a}^{\dag}, \, \hat{a} \right] = 1, \quad \left[ \hat{b}^{\dag}, \, \hat{b} \right] = 1. $$

$$ [\hat{a}, \hat{b}] = 0, \quad [\hat{a}^{\dag}, \hat{b}] = 0. $$

Вакуум $\Psi_{00}(x, y)$:

$$ \hat{a} \, \Psi_{00} = 0, \quad \hat{b} \, \Psi_{00} = 0. $$

Состояние $\Psi_{n_a n_b}(x, y)$:

$$ \Psi_{n_a n_b}(x, y) =\left( \hat{a}^{\dag} \right)^{n_a} \left( \hat{b}^{\dag} \right)^{n_b} \Psi_{00}(x, y) $$

Тогда

$$ \hat{L}_{\varphi} \Psi_{n_a n_b} = \left( n_a - n_b \right) \Psi_{n_a n_b}. $$

[amon]

SergeyGubanov в сообщении #1055993 писал(а):

На сколько я понял...

Угу! Теперь можно сказать, что $a^+=z$ и $a=\frac{\partial}{\partial z}$, аналогично с $b$, и получить решение.

[SergeyGubanov]

Внезапно сюрприз. Система уравнений

$$ \hat{a} \, \Psi_{00} = 0, \quad \hat{b} \, \Psi_{00} = 0 $$

с дифференциальными операторами $\hat{a}$ и $\hat{b}$ взятыми из моего предыдущего сообщения оказывается не совместной. Можно удовлетворить лишь одно из уравнений, но не оба одновременно.

[amon]

SergeyGubanov в сообщении #1056036 писал(а):

Внезапно сюрприз.

$$ \left[ \hat{a}^{\dag}, \, \hat{a} \right] = 1, \quad \left[ \hat{b}^{\dag}, \, \hat{b} \right] = 1. $$

Перепутаны операторы рождения и уничтожения. Поэтому получается

$$ \begin{align} &z=x+iy\quad a=\frac{1}{2}\left(-iz+2i\frac{\partial}{\partial z^*}\right)\quad b= \frac{1}{2}\left(z^*- 2\frac{\partial}{\partial z}\right)\\ &\left(-z+2\frac{\partial}{\partial z^*}\right)\Psi_{00}=0\\ &\left(z^*-2\frac{\partial}{\partial z}\right)\Psi_{00}=0\\ &\Psi_{00}=\exp\left(\frac{1}{2}zz^*\right) \end{align} $$

А должно быть $\Psi_{00}=\exp\left(-\frac{1}{2}zz^*\right)$

[Cos(x-pi/2)]

Извиняюсь за тривиальную мыслю, но не воздержусь заметить, что тут можно продолжить ещё вот так поупражняться c этим 2-мерным осциллятором - вычислить зависящие от времени средние значения его декартовых координат $\langle x \rangle$ и $\langle y \rangle$ по когерентному состоянию $\Psi(t),$ например, вида (в начальный момент времени $t=0$):

$$\Psi(0)=C \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} \Psi_{n0}\, ,$$

где $C$ - нормировочный множитель, а $\alpha$ - комплексный параметр. В частном случае выберем $\alpha$ вещественным положительным; ответ получается такой:

$$\langle x \rangle= -\alpha \sin t$$

$$\langle y \rangle= \alpha \cos t$$

т.е. "частица вращается против часовой стрелки (по круговой траектории радиуса $\alpha$)".

(Ну, и ещё упражненья в том же духе можно придумать, чтобы окончательно убедиться, что новые операторы (в сообщении peregoudov-а они обозначены как $b$-операторы, причём индексы $x,y$ для них не очень-то уместны) описывают квантовую механику осциллятора в терминах состояний с определённым числом квантов левой и правой круговой поляризации. Момент импульса равен разности этих чисел квантов, а энергия равна их сумме, как и следовало ожидать по "принципу соответствия с классикой".)