Как дать определение множ действ чисел средствами ZF(C) ?

[alex_dorin]

Как дать определение множества действительных чисел средствами ZF(C) ?
Из-за его громоздкости можно предположить, что определение для целого числа выполнено (оно то же достаточно
громоздкое).

[LaTeXScience]

Ну, например, вещественные числа можно определить как особые последовательности рациональных чисел. Рациональные числа вводятся как упорядоченные пары чисел - целого и натурального. Последовательности - это функции, а функции тоже можно определить как какие-то множества.

[alex_dorin]

> Последовательности - это функции, а функции тоже можно определить как какие-то множества.

А если через достаточные характеристические свойства элементов множества действительных чисел с использованием
дедекиндового сечения ?

[LaTeXScience]

Можно и через сечения. Можно и через десятичное представление. Да до фига чего можно.

[Joker_vD]

Лично мне определение вещественных чисел как классов эквивалентностей фундаментальных последовательностей рациональных чисел нравится больше.

О как завернул. Но вообще довольно хорошо вся эта процедура построения чисел описана в первом томе "Энциклопедии элементарной математики" Александрова, Маркушевича, Хинчина. Там вещественные числа вводятся именно так. Почитайте, Проскуряков очень увлекательно и подробно все там расписал.

[Circiter]

Если не ошибаюсь, мощность булеана множества целых равна мощности множесвтва действительных. Интересно, можно ли этим воспользоваться?

[Joker_vD]

Ох, не знаю. Поле вещественных чисел упорядоченно и архимедово, а как такое же сляпать из множества подмножеств множества натуральных/целых/рациональных чисел...

[a.k.]

А вопрос-то интересный... Что у нас есть в ZF? Ничего, кроме пустого множества $O$ и (схем) аксиом, которые обеспечивают существование некоторых других множеств. Аксиома бесконечности сразу дает нам существование множества $\{O,\{O\},\{\{O\}\},...\}$, которое удобно понимать как $N=\{1,2,3...\}$. Далее, будем рассматривать вещественные числа (пусть из отрезка $[0,1]$) как подмножества множества $N$(на самом деле подмножеств даже больше из-за двоякого представления некоторых чисел двоичной дробью). Но получать такие подмножества я могу только с помощью аксиомы выделения: для любого определенного одноместного предиката $P$ существует вполне определенное множество, содержащие те и только те члены $x \in N$, для которых выполнено $P(x)$. Но различных предикатов-то не более, чем счётно, если алфавит языка конечен! В итоге получится, что во всем нашем Универсуме лишь счетное множество объектов. Теперь из построенных объектов (назовем их вещественными числами) мне надо 1) построить множество $\mathbb{R}$ (исходя из аксиом ZF); 2)ввести на $\mathbb{R}$ порядок; 3) убедиться, что для $\mathbb{R}$ выполнена аксиома полноты, иначе на кой чёрт мне такое $\mathbb{R}$ !? На первый взгляд кажется, что полноты тут не может быть априори, ведь если $\mathbb{R}$ построено, то оно счетное (тут я этот термин использую не в рамках нашей модели, а в канторовском смысле, извне, так сказать)! Но с другой стороны, и под подмножествами $\mathbb{R}$ мы в ZF понимаем не произвольные, а лишь те, которые можем получить с помощью аксиомы выделения. Это тонкий момент, тут есть над чем подумать...
p.s. И вот еще что я заметил: в литературе то и дело пишут: "все построения производятся в рамках ZF... мы используем аксиоматику ZF... данная теорема может быть доказана в ZF...", а при этом нигде не ссылаются ни на одну аксиому ZF, работая, по сути, в рамках классической наивной теории множеств. Ни разу не видел книгу, где хотя бы теорема кантора $2^a>a$ была бы доказана строго в аксиоматике ZF! Если кто-то порекомендует книгу, где четко (именно в рамках ZF) изложены подобные вопросы, буду благодарен!

[gefest_md]

(Оффтоп)

I wonder why to define $2=\{\{\varnothing\}\}$. For example, this $2$ is not transitive; then how to define finite (infinite) set. What we got instead?

[arseniiv]

(Оффтоп)

gefest_md в сообщении #1055410 писал(а):

For example, this $2$ is not transitive

Но ведь это и не требуется. Да, мы можем выбрать в качестве натуральных чисел конечные ординалы, и тогда транзитивность есть. А можем слепить их как угодно иначе: просто берём любое счётное множество и определяем на нём все нужные операции (как получается и в случае ординалов).