Насколько малым может быть базис множества натуральных чисел

[fractalon]

Недоказанная пока гипотеза Эйлера говорит нам, что если объединить множество простых чисел и множество следующих за простыми чисел, то мы получим базис второго порядка (иными словами, множество такое, что любое число представимо суммой двух элементов этого множества) с асимптотической плотностью $\frac{2x}{\ln{x}}$. Я далёк от способности доказать эту гипотезу и меня заинтересовал другой вопрос - а можно ли меньше, чем $\frac{2x}{\ln{x}}$?
Элементарно доказать, конечно, что нельзя меньше $\sqrt{n}$. А около того можно? Каким образом можно было бы конструировать хотя бы искусственно такое множество достаточно разреженное?

[fractalon]

Прошу прощения, спросил глупость простейшую.
Ответ нашёл, тему можно удалить (кнопку не нахожу).

Если кому-то интересно, то решением будет объединение множеств чисел с нулями на чётных позициях в двоичной системе счисления и с нулями на нечётных. Это даёт плотность $2 \sqrt{n}$.

[DiMath]

fractalon Можно ссылку на гипотезу? Интересно почитать, не слышал о такой

[fractalon]

Ну, да, я слегка усилил бинарную проблему Гольдбаха... Если же мы можем представить как $p+q$ любое чётное ($p, q$ - простые), то $p+(q+1)$ можем любое нечётное, вот и получается базис...

[grizzly]

Интересный вопрос поднят в теме. Оставлю и здесь ссылку на эту работу, для справки. Смотреть нужно начиная со 138 стр. (это я по данной теме говорю, а вообще там всё очень интересно :) В частности, приведенное решение упоминается в начале стр. 141.