Made in China :)

[grizzly]

amon в сообщении #1054755 писал(а):

здесь я почему-то не согласуюсь с Sender'ом

Почему? На его картинке квадраты радиусов идут в таком порядке:
1, 3, 4, 7, 9, 12, ...
Это оно и есть: A003136. Понятно, что про эти числа написаны тома и всё просчитано с доказательствами. Я не сомневаюсь, что это и есть решение. Но так и не вижу, как доказать оптимальность при количестве точек, не кратном указанной сетке концентрических окружностей.

-- 18.09.2015, 23:54 --

А это, если только я не ошибся, количество точек внутри последовательных концентрических окружностей (включительно): A004611

[amon]

grizzly в сообщении #1054758 писал(а):

Почему?

Это я про формулу.

grizzly в сообщении #1054758 писал(а):

Но так и не вижу, как доказать оптимальность

Тут я пас. Доказательства "очевидных" (в кавычках) вещей - это сложно.

[Sender]

amon в сообщении #1054755 писал(а):

По-моему, можно нарисовать эту решетку как две вложенные прямоугольные $(i,2j)$ сдвинутые на мой $\tilde{z}=e^{i\pi/3}$, но не одну.

Ох, точно. Впрочем, можно рассматривать эту решётку как ромбическую с узлами в точках $(i+\frac{j}{2},\frac{j\sqrt{3}}{2}).$ Как вы и говорили с самого начала, в общем-то. И вроде вот последовательность из OEIS, представляющая числа точек непосредственно на окружностях: A035019

(Оффтоп)

Это у китайцев школьники решают такие задачки, да?

[amon]

grizzly в сообщении #1054758 писал(а):

Но так и не вижу, как доказать оптимальность при количестве точек, не кратном указанной сетке концентрических окружностей.

А из такого рассуждения доказательства не сделать?

Почти очевидно, что если число векторов совпадает с числом вакансий на первых $N$ окружностях, то их заполнение обеспечит минимум произведения. Вытащим одну точку так, что бы произведение осталось минимальным из всех возможных без передвижения оставшихся точек. Опять очевидно, что брать надо точку с самой дальней окружности. Попробуем улучшить результат перестановкой оставшихся точек. Ясно, что перестановки на дальней окружности результата не меняют, а "вытаскивание" точки из внутренней окружности наружу увеличивают произведение.

IMHO, из этого можно соорудить что-то вроде доказательства по индукции.

[grizzly]

amon в сообщении #1054763 писал(а):

Это я про формулу.

А, понял. Я просто не успеваю отслеживать, как вдруг нижесказанная информация оказывается вышесказанной :)

(Оффтоп)

Sender в сообщении #1054768 писал(а):

Это у китайцев школьники решают такие задачки, да?

Ну там было немного завуалировано, типа "по мотивам". Хотя с тех китайцев станется :)

-- 19.09.2015, 01:19 --

amon в сообщении #1054777 писал(а):

А из такого рассуждения доказательства не сделать?

Замечу пока, что на данном этапе такое же рассуждение дословно пройдёт и для суммы тех же расстояний (вместо произведений). Поначалу мне это показалось подозрительным, но немного поразмыслив я согласился и на это. Это что, действительно верно и для суммы?

[amon]

grizzly в сообщении #1054779 писал(а):

Это что, действительно верно и для суммы?

Для суммы модулей? По-моему, верно.