Содержательные посты из темы "Это не вандализм ли?"

[Dan B-Yallay]

Red_Herring в сообщении #1054225 писал(а):

А то, что большинство алгебраистов—узкие специалисты, совершенно чуждые концепции непрерывности, это, как говорится медицинский факт, обусловленный повреждением соответствующего гена в ДНК

Кстати, это идея. Вейлевская "борьба между ангелом топологии и дьяволом абстрактной алгебры" может быть проявлением различной экспрессии генов "непрерывности и дискретности".
А у гуманитариев видимо промотерные участки обоих генов заглушены ингибиторами.

[Anton_Peplov]

Тема навеяна вот этой цитатой:

Red_Herring в сообщении #1054117 писал(а):

Я соглашусь с тем, что «В. И. ни хрена не понимал в алгебре», но это высказывание надо правильно понимать. Безусловно он знал алгебру достаточно хорошо, в отличие, например, от Рамунаджана, который ничего практически не знал за пределами той области, в которой работал. Но не было в нём алгебраического духа (а был скорее антиалгебраический дух) и он не понимал, какие задачи алгебры интересны для алгебраистов. Но таковы практически все математики-неалгебраисты (включая меня) и лично я предпочёл бы, чтобы 50 лет назад мне курс алгебр читал кто-либо типа В. И., а не те в действительности очень серьёзные алгебраисты, которые мне его читали. «Алгебраист подобен флюсу» — примерно так говаривал Козьма Прутков.

А вот многократно здесь упоминавшийся преподаватель ВШЭ абсолютно ни хрена не понимает в анализе (в том же смысле, какое-никакое знание есть, а вот понимания ни на ломаный грош), а не только берется читать анализ, а ещё и объясняет всем, как его следует читать.

Формальные признаки знания математики общеизвестны. В "знание" тут включено, конечно, и умение решать задачи учебного уровня. А вот интересно, есть ли какие-нибудь формальные признаки, по которым можно определить наличие/отсутствие понимания или "духа" в вышеописанном смысле? Вот один признак уважаемый Red_Herring назвал: понимание/непонимание, какие задачи алгебры интересны для алгебраистов (здесь вместо алгебры можно подставить любую область математики). Что еще? Отсутствие работ по теме - еще не признак (вдруг понимал и даже слегка любил, но больше любил другие области, в которых и предпочел работать). Возможно, другой признак: если задачи, которые легко решить алгебраически и трудно решить аналитически (наверное, такие задачи есть), человек стабильно решает аналитически, значит, с алгебраическим мышлением у него непорядок. Еще есть признаки?

P.S. Я понимаю, что предмет сформулирован очень размыто, но все же надеюсь услышать что-нибудь интересное.

[Anton_Peplov]

Господа, все эти ангелы и бесы - тема интересная, и чтобы их обсудить, я открыл отдельный топик: topic100957.html. Всех, кто хочет порассуждать о непрерывном/алгебраическом мышлении и т.д., с восторгом приглашаю туда. А здесь не будем плодить оффтоп (хоть здешняя тема после того, как срок блокировки скостили до одного дня да еще и с извинениями, по моему скромному, яйца выеденного не стоит).

[Red_Herring]

Dan B-Yallay в сообщении #1054237 писал(а):

может быть проявлением различной экспрессии генов "непрерывности и дискретности".

Много лет назад я был свидетелем шахматной игры между функанальщиком и дискретчиком. Выигрывая в очередной раз функанальщик заявил: "Это Вы думаете дискретно, а проигрываете непрерывно"

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1054225 писал(а):

А то, что большинство алгебраистов—узкие специалисты, совершенно чуждые концепции непрерывности, это, как говорится медицинский факт, обусловленный повреждением соответствующего гена в ДНК (не медик, могу и ошибаться).

Ну что поделаешь, в анализе тоже многие люди всю жизнь занимаются вложениями одних пространств Бесова в другие.

Реально красивые вещи в алгебре (на мой вкус) относятся к алгебраической геометрии и представляют собой аналоги теорем из обычной геометрии, сформулированные таким образом, чтобы они работали над конечными полями и т. п. Например, как Вы определите фундаментальную группу алгебраического многообразия, если там из топологий только топология Зарисского? Но можно воспользоваться связью с накрытиями (алгебраический вариант накрытия определить легче — этальный морфизм); так получится этальная фундаментальная группа. На основе этого Гротендик и Делинь построили теорию этальных когомологий, для которых оказались верны некоторые аналоги теорем из классической топологии (теорема Лефшеца), потом Делинь применил ее к автоморфизму Фробениуса и доказал гипотезу Римана над конечными полями, за что получил Филдса.

Для таких вещей нужно не дискретное мышление, а наоборот, очень глубокое понимание непрерывного, которое нужно, чтобы понять, как сохранить какие-то важные свойства, отказавшись от непрерывности.

[Munin]

(Оффтоп)

Интересно. А есть геометрия/топология такой вещи, как группа?

[AlexDem]

Топологические группы есть, можно посмотреть у Келли, "Общая топология", например.

[Anton_Peplov]

Munin
Вообще, можно сразу поиск по запросу "топологическая алгебра". Мне навскидку вспоминается глава из учебника Виро и компании "Элементарная топология", например.
В двух словах - там изучаются группы, на которых введена топология, причем так, что отображения $G \times G \to G \ (x, y) \to x + y$ и $G \to G \ x \to -x$ непрерывны.

[Munin]

Anton_Peplov
Нет, непрерывные группы - это другое. Это группы Ли, это я знаю, что такое. Меня именно дискретный случай интересует.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Без заглядывания в код поначалу не сообразил. Так лично мне было бы понятнее, не знаю как другим:

$$(x,y)\mapsto x+y\colon G\times G\to G,\quad x\mapsto -x\colon G\to G,$$

хотя тут можно и подсократить без ущерба для здоровья:

$$+\colon G\times G\to G,\quad -\colon G\to G.$$

И не слушайте ewertа про лишний тип стрелок. Всё-таки он в ходу пока что.

А чего, в некоммутативных группах не вводят топологию, или в данном случае плюс не означает своей коммутативности?

[Red_Herring]

Есть ещё $C^*$-алгебры. В общем, любовный союз между алгеброй и геометрией или анализом не столь уж редок—но сватами там отнюдь не алгебраисты

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1054319 писал(а):

А чего, в некоммутативных группах не вводят топологию, или в данном случае плюс не означает своей коммутативности?

В данном случае плюс означает групповую операцию. Их вообще два стандартных обозначения, по крайней мере, в тех книгах, которые я встречал: плюс, и тогда обратный элемент обозначается как $-x$, и знак умножения, и тогда $x^{-1}$. Коммутативность по умолчанию не предполагается.

-- 18.09.2015, 01:16 --

Munin в сообщении #1054318 писал(а):

Меня именно дискретный случай интересует.

То есть можно ли на основе произвольной групповой операции каким-то естественным образом задать топологию? А интересный вопрос. Скажите, если узнаете.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1054333 писал(а):

То есть можно ли на основе произвольной групповой операции каким-то естественным образом задать топологию?

Вообще-то мой вопрос был не настолько кретинским. И я продолжаю ждать ответа от того человека, которому вопрос задал.

-- 18.09.2015 01:26:09 --

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1054333 писал(а):

Коммутативность по умолчанию не предполагается.

А в некоммутативном случае общепринято использование мультипликативной нотации, а не аддитивной. Потому что в элементарной математике встречается куча вещей, произведение которых некоммутативно, а сумма коммутативна. Так что это закладывается как основа интуиции.

[Anton_Peplov]

Тогда sorry, не понял Вашего вопроса.
И, конечно, не думал подменять собой того человека (да и куда мне).

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1054333 писал(а):

В данном случае плюс означает групповую операцию. Их вообще два стандартных обозначения, по крайней мере, в тех книгах, которые я встречал: плюс, и тогда обратный элемент обозначается как $-x$, и знак умножения, и тогда $x^{-1}$. Коммутативность по умолчанию не предполагается.

Угу. Я просто встречался с выбором плюса для заведомо коммутативных операций (а умножение — для каких угодно). Ой, это оказалось повторением.