понятие производной

[lulusa]

Добрый день. У меня следующий вопрос. Из школы известно, что производная - предел отношения приращения функции к прир. аргумента. Но если свободная переменная задана не в окрестности точки на действительной прямой, а на каком-то произвольном подмножестве? Скажем, она задана на всех рациональных числах, тогда у нас понятия предела ф-ии не определено?

[Anton_Peplov]

lulusa
А дайте-ка определение предела функции. Вот и посмотрим, где оно определено, а где нет.

[provincialka]

Ой! Раз Anton_Peplov уже задал вопрос, свой ответ уберу в оффтоп.

(Оффтоп)

Определено. В определении предела (функции) важно ее поведение в окрестности $x_0$ на области определения.

Обычно требуют, чтобы $x_0$ являлась предельной точкой области определения функции. Но это уже, пожалуй, не для школы.

[Munin]

provincialka в сообщении #1054274 писал(а):

Обычно требуют, чтобы $x_0$ являлась предельной точкой области определения функции. Но это уже, пожалуй, не для школы. :D

Я думаю, на каких-то примерах это понятие как раз полезно разъяснить уже школьнику.

Например, если функция определена в точка вида $1/2^n,\quad n=0,1,2,\ldots,$ то можно взять предел при $x\to 0.$ Это, в каком-то смысле, "минимальный" пример: все остальные предельные точки
- либо принадлежат самому множеству,
- либо к ним можно выделить подмножество в виде такой же "дорожки".

Например, если функция определена на интервале $(a,b),\quad a>b,$ то можно взять пределы при $x\to a,b.$

[provincialka]

Munin в сообщении #1054283 писал(а):

Я думаю, на каких-то примерах это понятие как раз полезно разъяснить уже школьнику.

Школьник школьнику рознь!
Пусть Виленкина читает, "Рассказы о множествах". Ко многому привыкнет!

[ewert]

lulusa в сообщении #1054272 писал(а):

Но если свободная переменная задана не в окрестности точки на действительной прямой, а на каком-то произвольном подмножестве?

Тогда это достаточно бесполезно (хоть формально и не исключено). Практически единственное исключение -- это односторонние окрестности, когда это и впрямь существенно.

Любой матаппарат нужен только постольку, поскольку он кому-то нужен.

[Munin]

ewert в сообщении #1054313 писал(а):

Практически единственное исключение -- это односторонние окрестности, когда это и впрямь существенно.

А ещё устранимые точки разрыва.

[arseniiv]

А ещё все остальные метрические пространства окромя $\mathbb R$, мёдом не мазаного. Там уже не такие скучные базы окрестностей.

-- Пт сен 18, 2015 03:07:42 --

Ну и остальные топологические, конечно. Всё время забываю, что предел ещё оттуда.

[Anton_Peplov]

Предел-то оттуда, а вот производной там нет. И в общих метрических - тоже.
И вообще для ТС все эти слова пока еще китайская грамота.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1054347 писал(а):

а вот производной там нет

Согласен. Но раз уж в стеке тем наверху оказался один только предел…