Обсуждение определителя

[Brukvalub]

Xaositect в сообщении #1052701 писал(а):

Хм. скалярным произведением называется положительно определенная квадратичная форма на пространстве. Оно, конечно, невырожденное, но Ваша формулировка тоже хромает.

Согласен, Ваша поправка существенна! Подчеркивая невырожденность, я забыл указать положительную определенность, это нехорошо.

Munin в сообщении #1052703 писал(а):

Псевдо-скалярное произведение? Не уверен, что есть такой термин...

Этот термин использует, например, Прасолов в своей книге Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1052705 писал(а):

Этот термин использует, например, Прасолов в своей книге Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.

Ну хорошо. Прасолов - это для меня авторитет.

[metelev]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1052579 писал(а):

Так получилось, что я в студенчестве слушал и сдавал Анатолию Тимофеевичу спецкурс по симплектической геометрии.

Анатолий Тимофеевич это, видимо, крупнейший современный коммерсант в области фальсификации истории, автор знаменитой лженаучной теории, известной под названием "новая хронология".

Я его по имени-отчеству не знал, в интернете пришлось смотреть.

[Munin]

(Оффтоп)

Тем не менее, это вполне уважаемый автор учебников по геометрии и топологии. Его внематематические "подвиги" к делу никак не относятся.

[LionKing]

Я просмотрел дискуссию и пришел к выводу:
1) Геометров нельзя пускать в алгебру под страхом смерти!
2) Арнольд тоже ошибался, хотя и был не последним человеком в математике!
Вставлю свои 5 копеек. Во-первых, отрицательных объемов не бывает. Объем - частный случай меры, а мера всегда неотрицательна. Мера - частный случай заряда, который может принимать значения разных знаков. То, что геометры называют ориентированным объемом - это заряд. То же самое касается вероятностей. Вероятность не может быть отрицательной! Более того, вероятность принимает вещественные значения из отрезка [0 , 1] всегда! Особенно это касается Munin'а, у которого регулярно появляются отрицательные объемы и вероятности! Пойдем далее... Владимир Игоревич Арнольд - геометр и физик, который ни черта не смыслил в алгебре до самой смерти. Прискорбно, но факт. Он потому и не любил алгебраистов, что не мог освоить даже азов алгебраической теории. Структуры более абстрактные, чем группы, на дух не переносил! Теперь по поводу определителей... А это уже во-вторых. Предположим, я решаю ввести определитель, как ориентированный объем n-мерного параллелепипеда. Для этого мне нужно вычитать полный курс теории меры и интеграла. Стоит ли овчинка выделки? Это долго. Раз. Пока я не вычитаю ТМИ, определителями пользоваться нельзя. Два. Рушится связь между линейными функциями и определителями. Три. Какая связь между линейными функциями и определителями? У нас есть базовый объект - поле P, с которым ассоциировано линейное пространство L. С полем P ассоциировано также кольцо квадратных матриц A порядка n (составленных из элементов поля). Если линейное пространство L имеет размерность n, то мы может путем выбора базиса в L построить изоморфизм между множеством линейных функций, действующих из L в L, и A, т.е. произвести их "оцифровку". И здесь появляется необходимость ввести определитель, как естественный гомоморфизм пространства линейных функций в поле P, являющийся индикатором их обратимости. Такие дела.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

предположительно М.В. Ломоносов писал(а):

Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит

Мда. Вот не всегда в порядок, не всегда…

[Xaositect]

LionKing в сообщении #1053809 писал(а):

У нас есть базовый объект - поле P, с которым ассоциировано линейное пространство L. С полем P ассоциировано также кольцо квадратных матриц A порядка n (составленных из элементов поля). Если линейное пространство L имеет размерность n, то мы может путем выбора базиса в L построить изоморфизм между множеством линейных функций, действующих из L в L, и A, т.е. произвести их "оцифровку". И здесь появляется необходимость ввести определитель, как естественный гомоморфизм пространства линейных функций в поле P, являющийся индикатором их обратимости. Такие дела.

Munin, как я его понял, именно этот подход и имеет в виду, без всяких мер и интегралов, просто с некоторой геометрической мотивацией в начале. А именно:

Пусть у нас есть векторное пространство $V$ размерности $n$ над полем $F$. Будем рассматривать наборы из $n$ векторов $x_1,x_2,\dots,x_n\in V$. Мы хотим ввести некоторую величину, которая соответствует некоторой интуиции "размера/объема параллелепипеда, натянутого на векторы". Какие хорошие свойства у такого "объема" должны быть? Во-первых, вырожденные параллелепипеды (то есть линейно зависимые наборы векторов) должны иметь объем $0$. Во-вторых, линейность по каждому вектору - для мотивации рисуем картинки в двумерном и трехмерном пространстве, заодно поясняем понятие ориентированной площади/объема (пригодится потом в матанализе) и доказываем из наших двух свойств тот факт, что при перестановке двух векторов наш объем будет менять знак.

Дальше есть два подхода. Первый, более простой для понимания - можно сказать, что "объем" это число, и получится функция $\Delta\colon V^n\to F$. Тогда надо зафиксировать какой-то один набор, у которого $\Delta$ будет равно 1. Для этого можно взять некоторый фиксированный базис. Определитель тогда вводится как $\Delta$ от столбцов матрицы

Второй - это когда мы просто говорим, что каждому набору $n$ векторов соответствует "абстрактный ориентированный объем" $x_1\wedge x_2\wedge\dots\wedge x_n$, который называется $n$-формой. Нетрудно видеть, что все такие объемы образуют одномерное пространство - если выбрать базис $e_1,\dots,e_n$, то любой $x_1\wedge x_2\wedge\dots\wedge x_n$ выразится как $C e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_n$ с помощью свойств линейности и антисимметричности. Для любого линейного оператора $F\colon V\to V$ определим оператор $F^{\wedge n}$, который переводит $x_1\wedge x_2\wedge\dots\wedge x_n$ в $Fx_1\wedge Fx_2\wedge\dots\wedge Fx_n$. Так как пространство $n$-форм одномерно, это будет умножение на некоторое число, которое и называется определителем. Это более абстрактный путь, но зато мы по пути получаем формулу для определителя и пракически бесплатно получаем формулу определителя произведения.

[iifat]

LionKing в сообщении #1053809 писал(а):

отрицательных объемов не бывает

LionKing в сообщении #1053809 писал(а):

Предположим, я решаю ввести определитель, как ориентированный объем n-мерного параллелепипеда

М-да. Отрицательных объёмов не бывает. Особенно это касается Munin, неизменно являющего миру свой отрицательный объём. Именно поэтому я решаю ввести объём как интеграл, поскольку говорить про объёмы (и площади!), включая параллелепипеды и прямоугольники, не прочитав перед этим «полный курс теории меры и интеграла» я запрещаю. Это и называется логикой. Ну, я введу вот такую ориентированную логику.

[Brukvalub]

Xaositect в сообщении #1053823 писал(а):

Дальше есть два подхода. Первый, более простой для понимания - можно сказать, что "объем" это число, и получится функция $\Delta\colon V^n\to F$. Тогда надо зафиксировать какой-то один набор, у которого $\Delta$ будет равно 1. Для этого можно взять некоторый фиксированный базис. Определитель тогда вводится как $\Delta$ от столбцов матрицы

Это вряд ли. Возникла путаница - сначала было предложено рассмотреть "просто" арифметическое векторное пр-во над полем (кстати, конечная характеристика поля, например, характеристика 2 здесь ничему не помешает? Или, если поле будет комплексным, то и объем будет комплексным? ), а потом вдруг всплыл некий "базис", после чего становится непонятно, что есть столбцы матрицы - это координаты векторов в этом базисе или, как и раньше, просто элементы "арифметического" векторного пространства.

Xaositect в сообщении #1053823 писал(а):

Второй - это когда мы просто говорим, что каждому набору $n$ векторов соответствует "абстрактный ориентированный объем" $x_1\wedge x_2\wedge\dots\wedge x_n$, который называется $n$-формой.

Здесь - совсем плохо, используется тензорная терминология и тензорные же обозначения, но стыдливо замачивается вся махина внешней алгебры...

[Munin]

Xaositect в сообщении #1053823 писал(а):

Во-первых, вырожденные параллелепипеды (то есть линейно зависимые наборы векторов) должны иметь объем $0$. Во-вторых, линейность по каждому вектору - для мотивации рисуем картинки в двумерном и трехмерном пространстве, заодно поясняем понятие ориентированной площади/объема (пригодится потом в матанализе) и доказываем из наших двух свойств тот факт, что при перестановке двух векторов наш объем будет менять знак.

Из второго свойства следует первое. Я подозреваю, вы хотели сказать чуть-чуть другое: невырожденные параллелепипеды должны иметь объём $\ne 0.$

Перемена знака доказывается из одной только линейности.

Xaositect в сообщении #1053823 писал(а):

Дальше есть два подхода.

Я так понял, в этих подходах дефинируются разные вещи.

-- 16.09.2015 17:29:57 --

Brukvalub
Xaositect, как я понял, не пытается наметить линию преподавания, а поясняет ту конструкцию, которая в итоге должна получиться. В расчёте на осведомлённого читателя.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1053838 писал(а):

Brukvalub
Xaositect, как я понял, не пытается наметить линию преподавания, а поясняет ту конструкцию, которая в итоге должна получиться. В расчёте на осведомлённого читателя.

Тады ОЙ!

[LionKing]

Xaositect в сообщении #1053823 писал(а):

просто с некоторой геометрической мотивацией в начале.

С некоторой геометрической мотивацией??? Вы что, рехнулись??? Вот когда вы будете рассматривать матрицы, составленные из формальных рядов/многочленов/вычетов/операторов (нужное подчеркнуть), вы просто обалдеете от геометричности определителя! Или предлагаете считать, что объем параллелепипеда может быть вектором или вообще оператором, к примеру? Неплохо, неплохо... Дети, мы нашли объем нашего n-мерного параллелепипеда и выяснили что он равен оператору Лапласа! Ну как, геометрично? А?

-- 16.09.2015, 17:39 --

Лучше определять определитель как гомоморфизм, как я и сказал ранее.

[Munin]

(Оффтоп)

Тому, кто не понимает, что объём может быть оператором, не стоит пафосно высказываться о математике, смышлении в ней, и освоении азов.

[Xaositect]

Brukvalub в сообщении #1053837 писал(а):

(кстати, конечная характеристика поля, например, характеристика 2 здесь ничему не помешает? Или, если поле будет комплексным, то и объем будет комплексным? )

Проходит в любой характеристике. Да, "объем" будет комплексным, потому я и пишу его в кавычках. Объем - это просто мотивация, в том смысле, что мы вводим штуку, которая является обобщением ориентированного объема в трехмерном действительном пространстве.

Brukvalub в сообщении #1053837 писал(а):

Здесь - совсем плохо, используется тензорная терминология и тензорные же обозначения, но стыдливо замачивается вся махина внешней алгебры...

А вся махина конкретно тут совершенно не нужна, ну а если не хочется говорить страшных слов и писать $\wedge$ - можно не говорить.

Munin в сообщении #1053838 писал(а):

Из второго свойства следует первое. Я подозреваю, вы хотели сказать чуть-чуть другое: невырожденные параллелепипеды должны иметь объём $\ne 0.$

Нет, из линейности не следует антисимметричность. Или я неправильно понял?

Цитата:

Xaositect, как я понял, не пытается наметить линию преподавания, а поясняет ту конструкцию, которая в итоге должна получиться. В расчёте на осведомлённого читателя.

Естественно, это не план занятия, это просто к тому, что так можно сделать.

[LionKing]

Brukvalub в сообщении #1053837 писал(а):

сначала было предложено рассмотреть "просто" арифметическое векторное пр-во над полем

А вы не путайтесь! Я предложил рассматривать произвольное конечномерное линейное пространство над полем P!

-- 16.09.2015, 17:44 --

Munin в сообщении #1053845 писал(а):

(Оффтоп)

Тому, кто не понимает, что объём может быть оператором, не стоит пафосно высказываться о математике, смышлении в ней, и освоении азов.

С вами все в порядке? Объем - частный случай меры, а вы окончательно запутались в терминах!