Обсуждение определителя : Вопросы преподавания - Страница 3 fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение11.09.2015, 23:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Xaositect в сообщении #1052701 писал(а):
Хм. скалярным произведением называется положительно определенная квадратичная форма на пространстве. Оно, конечно, невырожденное, но Ваша формулировка тоже хромает.

Согласен, Ваша поправка существенна! Подчеркивая невырожденность, я забыл указать положительную определенность, это нехорошо.
Munin в сообщении #1052703 писал(а):
Псевдо-скалярное произведение? Не уверен, что есть такой термин...

Этот термин использует, например, Прасолов в своей книге Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение11.09.2015, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Brukvalub в сообщении #1052705 писал(а):
Этот термин использует, например, Прасолов в своей книге Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.

Ну хорошо. Прасолов - это для меня авторитет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение13.09.2015, 10:03 
Аватара пользователя


20/03/12
274
СПб

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение13.09.2015, 12:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение16.09.2015, 15:52 


07/05/12

127
Я просмотрел дискуссию и пришел к выводу:
1) Геометров нельзя пускать в алгебру под страхом смерти! :D
2) Арнольд тоже ошибался, хотя и был не последним человеком в математике!
Вставлю свои 5 копеек. Во-первых, отрицательных объемов не бывает. Объем - частный случай меры, а мера всегда неотрицательна. Мера - частный случай заряда, который может принимать значения разных знаков. То, что геометры называют ориентированным объемом - это заряд. То же самое касается вероятностей. Вероятность не может быть отрицательной! Более того, вероятность принимает вещественные значения из отрезка [0 , 1] всегда! Особенно это касается Munin'а, у которого регулярно появляются отрицательные объемы и вероятности! Пойдем далее... Владимир Игоревич Арнольд - геометр и физик, который ни черта не смыслил в алгебре до самой смерти. Прискорбно, но факт. Он потому и не любил алгебраистов, что не мог освоить даже азов алгебраической теории. Структуры более абстрактные, чем группы, на дух не переносил! Теперь по поводу определителей... А это уже во-вторых. Предположим, я решаю ввести определитель, как ориентированный объем n-мерного параллелепипеда. Для этого мне нужно вычитать полный курс теории меры и интеграла. Стоит ли овчинка выделки? Это долго. Раз. Пока я не вычитаю ТМИ, определителями пользоваться нельзя. Два. Рушится связь между линейными функциями и определителями. Три. Какая связь между линейными функциями и определителями? У нас есть базовый объект - поле P, с которым ассоциировано линейное пространство L. С полем P ассоциировано также кольцо квадратных матриц A порядка n (составленных из элементов поля). Если линейное пространство L имеет размерность n, то мы может путем выбора базиса в L построить изоморфизм между множеством линейных функций, действующих из L в L, и A, т.е. произвести их "оцифровку". И здесь появляется необходимость ввести определитель, как естественный гомоморфизм пространства линейных функций в поле P, являющийся индикатором их обратимости. Такие дела. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение16.09.2015, 16:32 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение16.09.2015, 16:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
LionKing в сообщении #1053809 писал(а):
У нас есть базовый объект - поле P, с которым ассоциировано линейное пространство L. С полем P ассоциировано также кольцо квадратных матриц A порядка n (составленных из элементов поля). Если линейное пространство L имеет размерность n, то мы может путем выбора базиса в L построить изоморфизм между множеством линейных функций, действующих из L в L, и A, т.е. произвести их "оцифровку". И здесь появляется необходимость ввести определитель, как естественный гомоморфизм пространства линейных функций в поле P, являющийся индикатором их обратимости. Такие дела. :D

Munin, как я его понял, именно этот подход и имеет в виду, без всяких мер и интегралов, просто с некоторой геометрической мотивацией в начале. А именно:

Пусть у нас есть векторное пространство $V$ размерности $n$ над полем $F$. Будем рассматривать наборы из $n$ векторов $x_1,x_2,\dots,x_n\in V$. Мы хотим ввести некоторую величину, которая соответствует некоторой интуиции "размера/объема параллелепипеда, натянутого на векторы". Какие хорошие свойства у такого "объема" должны быть? Во-первых, вырожденные параллелепипеды (то есть линейно зависимые наборы векторов) должны иметь объем $0$. Во-вторых, линейность по каждому вектору - для мотивации рисуем картинки в двумерном и трехмерном пространстве, заодно поясняем понятие ориентированной площади/объема (пригодится потом в матанализе) и доказываем из наших двух свойств тот факт, что при перестановке двух векторов наш объем будет менять знак.

Дальше есть два подхода. Первый, более простой для понимания - можно сказать, что "объем" это число, и получится функция $\Delta\colon V^n\to F$. Тогда надо зафиксировать какой-то один набор, у которого $\Delta$ будет равно 1. Для этого можно взять некоторый фиксированный базис. Определитель тогда вводится как $\Delta$ от столбцов матрицы

Второй - это когда мы просто говорим, что каждому набору $n$ векторов соответствует "абстрактный ориентированный объем" $x_1\wedge x_2\wedge\dots\wedge x_n$, который называется $n$-формой. Нетрудно видеть, что все такие объемы образуют одномерное пространство - если выбрать базис $e_1,\dots,e_n$, то любой $x_1\wedge x_2\wedge\dots\wedge x_n$ выразится как $C e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_n$ с помощью свойств линейности и антисимметричности. Для любого линейного оператора $F\colon V\to V$ определим оператор $F^{\wedge n}$, который переводит $x_1\wedge x_2\wedge\dots\wedge x_n$ в $Fx_1\wedge Fx_2\wedge\dots\wedge Fx_n$. Так как пространство $n$-форм одномерно, это будет умножение на некоторое число, которое и называется определителем. Это более абстрактный путь, но зато мы по пути получаем формулу для определителя и пракически бесплатно получаем формулу определителя произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение16.09.2015, 17:00 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
LionKing в сообщении #1053809 писал(а):
отрицательных объемов не бывает
LionKing в сообщении #1053809 писал(а):
Предположим, я решаю ввести определитель, как ориентированный объем n-мерного параллелепипеда
М-да. Отрицательных объёмов не бывает. Особенно это касается Munin, неизменно являющего миру свой отрицательный объём. Именно поэтому я решаю ввести объём как интеграл, поскольку говорить про объёмы (и площади!), включая параллелепипеды и прямоугольники, не прочитав перед этим «полный курс теории меры и интеграла» я запрещаю. Это и называется логикой. Ну, я введу вот такую ориентированную логику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение16.09.2015, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Xaositect в сообщении #1053823 писал(а):
Дальше есть два подхода. Первый, более простой для понимания - можно сказать, что "объем" это число, и получится функция $\Delta\colon V^n\to F$. Тогда надо зафиксировать какой-то один набор, у которого $\Delta$ будет равно 1. Для этого можно взять некоторый фиксированный базис. Определитель тогда вводится как $\Delta$ от столбцов матрицы

Это вряд ли. Возникла путаница - сначала было предложено рассмотреть "просто" арифметическое векторное пр-во над полем (кстати, конечная характеристика поля, например, характеристика 2 здесь ничему не помешает? Или, если поле будет комплексным, то и объем будет комплексным? :shock: ), а потом вдруг всплыл некий "базис", после чего становится непонятно, что есть столбцы матрицы - это координаты векторов в этом базисе или, как и раньше, просто элементы "арифметического" векторного пространства.
Xaositect в сообщении #1053823 писал(а):
Второй - это когда мы просто говорим, что каждому набору $n$ векторов соответствует "абстрактный ориентированный объем" $x_1\wedge x_2\wedge\dots\wedge x_n$, который называется $n$-формой.

Здесь - совсем плохо, используется тензорная терминология и тензорные же обозначения, но стыдливо замачивается вся махина внешней алгебры...

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение16.09.2015, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Xaositect в сообщении #1053823 писал(а):
Во-первых, вырожденные параллелепипеды (то есть линейно зависимые наборы векторов) должны иметь объем $0$. Во-вторых, линейность по каждому вектору - для мотивации рисуем картинки в двумерном и трехмерном пространстве, заодно поясняем понятие ориентированной площади/объема (пригодится потом в матанализе) и доказываем из наших двух свойств тот факт, что при перестановке двух векторов наш объем будет менять знак.

Из второго свойства следует первое. Я подозреваю, вы хотели сказать чуть-чуть другое: невырожденные параллелепипеды должны иметь объём $\ne 0.$

Перемена знака доказывается из одной только линейности.

Xaositect в сообщении #1053823 писал(а):
Дальше есть два подхода.

Я так понял, в этих подходах дефинируются разные вещи.

-- 16.09.2015 17:29:57 --

Brukvalub
Xaositect, как я понял, не пытается наметить линию преподавания, а поясняет ту конструкцию, которая в итоге должна получиться. В расчёте на осведомлённого читателя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение16.09.2015, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Munin в сообщении #1053838 писал(а):
Brukvalub
Xaositect, как я понял, не пытается наметить линию преподавания, а поясняет ту конструкцию, которая в итоге должна получиться. В расчёте на осведомлённого читателя.

Тады ОЙ! :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение16.09.2015, 17:34 


07/05/12

127
Xaositect в сообщении #1053823 писал(а):
просто с некоторой геометрической мотивацией в начале.

С некоторой геометрической мотивацией??? Вы что, рехнулись??? :evil: Вот когда вы будете рассматривать матрицы, составленные из формальных рядов/многочленов/вычетов/операторов (нужное подчеркнуть), вы просто обалдеете от геометричности определителя! :evil: Или предлагаете считать, что объем параллелепипеда может быть вектором или вообще оператором, к примеру? Неплохо, неплохо... Дети, мы нашли объем нашего n-мерного параллелепипеда и выяснили что он равен оператору Лапласа! Ну как, геометрично? А?

-- 16.09.2015, 17:39 --

Лучше определять определитель как гомоморфизм, как я и сказал ранее. :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение16.09.2015, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение16.09.2015, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Brukvalub в сообщении #1053837 писал(а):
(кстати, конечная характеристика поля, например, характеристика 2 здесь ничему не помешает? Или, если поле будет комплексным, то и объем будет комплексным? :shock: )
Проходит в любой характеристике. Да, "объем" будет комплексным, потому я и пишу его в кавычках. Объем - это просто мотивация, в том смысле, что мы вводим штуку, которая является обобщением ориентированного объема в трехмерном действительном пространстве.
Brukvalub в сообщении #1053837 писал(а):
Здесь - совсем плохо, используется тензорная терминология и тензорные же обозначения, но стыдливо замачивается вся махина внешней алгебры...
А вся махина конкретно тут совершенно не нужна, ну а если не хочется говорить страшных слов и писать $\wedge$ - можно не говорить.

Munin в сообщении #1053838 писал(а):
Из второго свойства следует первое. Я подозреваю, вы хотели сказать чуть-чуть другое: невырожденные параллелепипеды должны иметь объём $\ne 0.$
Нет, из линейности не следует антисимметричность. Или я неправильно понял?

Цитата:
Xaositect, как я понял, не пытается наметить линию преподавания, а поясняет ту конструкцию, которая в итоге должна получиться. В расчёте на осведомлённого читателя.
Естественно, это не план занятия, это просто к тому, что так можно сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прошла первая лекция по матем. ... Литература для сам. из.?
Сообщение16.09.2015, 17:42 


07/05/12

127
Brukvalub в сообщении #1053837 писал(а):
сначала было предложено рассмотреть "просто" арифметическое векторное пр-во над полем

А вы не путайтесь! :cry: Я предложил рассматривать произвольное конечномерное линейное пространство над полем P!

-- 16.09.2015, 17:44 --

Munin в сообщении #1053845 писал(а):

(Оффтоп)


С вами все в порядке? Объем - частный случай меры, а вы окончательно запутались в терминах! :evil:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group