Система отсчета и математический формализм

[rustot]

SergeyGubanov в сообщении #1053576 писал(а):

Слово "пересчёт" здесь не уместно. Вы путаете систему отсчёта и систему координат.

Мне известно что-то описанное относительно одной системы отсчета. Если меня спрашивают "что будет если" то для решения такой задачи может оказаться удобным перейти в другую систему отсчета пересчитав все исходные данные и законы под нее. Удобно, но необязательно. Рассчитать "что будет" можно и в исходной системе отсчета, относительно которой сформулированы исходные данные.

Вы же задали впрямую вопрос а как исходные данные (объем шара, площадь поверхности шара) преобразовать в другую систему отсчета, относительно которой шар неподвижен, сама задача в этом заключается.

[SergeyGubanov]

rustot, чтобы Ваше утверждение стало истинным в нём нужно термин "система отсчёта" заменить на термин "система координат".

[rustot]

Cкажем преобразования лоренца - это преобразования между инерциальными системами отсчета или между инерциальными системами координат? Ваше утверждение что шар вращается относится к какой то системе отсчета (координат), например инерциальной, или это какое то абсолютное утверждение?

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1053576 писал(а):

Слово "пересчёт" здесь не уместно. Вы путаете систему отсчёта и систему координат.

Вы мне понадобитесь дальше на 3 пункте, когда я дойду до Родичева, там для меня начинаются дебри.

-- 15.09.2015, 17:21 --

rustot в сообщении #1053583 писал(а):

Если меня спрашивают "что будет если" то для решения такой задачи может оказаться удобным перейти в другую систему отсчета пересчитав все исходные данные и законы под нее. Удобно, но необязательно. Рассчитать "что будет" можно и в исходной системе отсчета, относительно которой сформулированы исходные данные.

Все таки как правило систему отсчета выбирают , привязываясь к измерительной аппаратуре. Вам же нужно сначала проверить теорию, а потом уже спокойно пересчитывать, зная , что в другой СО будет все корректно. А то добавите какой-нибудь космологический член и все расчеты переделывать.

[SergeyGubanov]

rustot в сообщении #1053590 писал(а):

Cкажем преобразования лоренца - это преобразования между инерциальными системами отсчета или между инерциальными системами координат? Ваше утверждение что шар вращается относится к какой то системе отсчета (координат), например инерциальной, или это какое то абсолютное утверждение?

Пространство событий обладает пространственно-временной структурой. Что это означает на языке теории групп можно посмотреть, например, в книге Сарданашвили Современные методы теории поля, Том 5, Гравитация, параграф 4 "Пространственно временная структура". Интересна формула (1.53). Пространственное распределение генерируется тройкой пространственно-подобных векторных полей $e^{(1)}_{\mu}$, $e^{(2)}_{\mu}$, $e^{(3)}_{\mu}$. Они "вращаются" между собой группой $SO(3)$. Времени-подобное векторное поле $e^{(0)}_{\mu}$ является порождающей формой этого пространственного распределения (формула 1.53). Взятые вместе, четвёрка векторных полей $e^{(0)}_{\mu}$, $e^{(1)}_{\mu}$, $e^{(2)}_{\mu}$, $e^{(3)}_{\mu}$ "вращаются" между собой (локальной) группой Лоренца:

$$ e'^{(a)}_{\mu}(x) = {\Lambda^{a}}_{b}(x) \; e^{(b)}_{\mu}(x), \quad \eta_{a b} {\Lambda^{a}}_{c}(x) {\Lambda^{b}}_{d}(x) = \eta_{c d} $$

При этом

$$g_{\mu \nu}(x) = \eta_{a b} \, e^{(a)}_{\mu}(x) \; e^{(b)}_{\nu}(x) = \eta_{a b} \, e'^{(a)}_{\mu}(x) \; e'^{(b)}_{\nu}(x)$$

Поэтому ответ на Ваш вопрос, что делают преобразования Лоренца, таков: преобразования Лоренца преобразуют одно пространственное распределение в другое.

Физический смысл векторного поля $e^{\mu}_{(0)}(x)$ -- четырёхскорость системы отсчёта. Разные системы отсчёта характеризуются разными четырёхскоростями.

Пример неподвижной системы отсчёта в пространстве событий Минковского:

$$ \bar{e}^{(0)} = c \, dt, \quad \bar{e}^{(1)} = dr, \quad \bar{e}^{(2)} = r \, d\theta, \quad \bar{e}^{(3)} = r \sin(\theta) \, d\varphi. $$

Вращающаяся относительно неё система отсчёта:

$$ e^{(0)} = \frac{\bar{e}^{(0)} - \frac{V}{c} \, \bar{e}^{(3)}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}, \quad e^{(1)} = \bar{e}^{(1)}, \quad e^{(2)} = \bar{e}^{(2)}, \quad e^{(3)} = \frac{- \frac{V}{c} \, \bar{e}^{(0)} + \bar{e}^{(3)}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}, \quad V = \Omega \, r \, \sin(\theta). $$

Две точки четырёхмерного пространства событий принадлежат одному и тому же трёхмерному пространственному слою системы отсчёта $e^{(a)}_{\mu}$ если эти две точки можно соединить пространственно подобной линией $x^{\mu}(\ell)$ вдоль которой выполняется:

$$ e^{(0)}_{\mu} \frac{d x^{\mu}}{d \ell} = 0 $$

Трёхмерный пространственный слой системы отсчёта $e^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} dx^{\mu}$ обладает трёхмерной метрикой, которую символически можно записать как решение следующей системы дифференциальных связей:

$$ e^{(0)} = 0, \quad d\ell^2 = \left( e^{(1)} \right)^2 + \left( e^{(2)} \right)^2 + \left( e^{(3)} \right)^2. $$

[iifat]

SergeyGubanov в сообщении #1053554 писал(а):

сколько миллилитров сверхценного лекарства залито в шар

А в чём, если не секрет, прикол? Ну да, вопросы типа «сколько сантиметров» (соответственно, квадратных и кубических) стали ересью без указания СО. Как несколько раньше — вопрос «с какой скоростью». Неожиданно, согласен. Предыдущее событие, касающееся скорости, пережили. Неужто нового не переживём?

[SergeyGubanov]

iifat в сообщении #1053603 писал(а):

А в чём, если не секрет, прикол?

Прикол в том, что rustot сказал, что нет задач на системы отсчёта, но, как позже выяснилось, под системами отсчёта он (сам того не ведая) имел в виду системы координат. А на системы отсчёта задач вагон и маленькая тележка. Вот, например, ещё одна: на вращающейся планете (описываемой метрикой Керра) стоит небоскрёб, жители захотели покрыть его тонким слоем утеплителя по цене золота, сколько будет стоить такой евроремонт (какова площадь поверхности небоскрёба)?

[rustot]

SergeyGubanov в сообщении #1053605 писал(а):

Прикол в том, что rustot сказал, что нет задач на системы отсчёта, но, как позже выяснилось, под системами отсчёта он (сам того не ведая) имел в виду системы координат.

Вы какую то экзотическую терминологию предлагаете. В учебниках преобразования лоренца это именно преобразования между системами отсчета, инерциальными.

SergeyGubanov в сообщении #1053605 писал(а):

А на системы отсчёта задач вагон и маленькая тележка. Вот, например, ещё одна: на вращающейся планете (описываемой метрикой Керра) стоит небоскрёб, жители захотели покрыть его тонким слоем утеплителя по цене золота, сколько будет стоить такой евроремонт (какова площадь поверхности небоскрёба)?

Ну и считаете как видоизменяется каждый кусочек золота при разгоне для помещения его в нужное место вращающегося тела. Вычислений относительно вращающейся системы отсчета делать не нужно. Весь этот вагон и тележка содержат прямой вопрос о величине в другой системе отсчета, естественно вопрос про другую систему отсчета требует эту систему отсчета

SergeyGubanov в сообщении #1053601 писал(а):

Трёхмерный пространственный слой системы отсчёта

Вы полагаете что я говорил именно о пространственной системе координат с тремя координатами? Нет, я говорил все время о пространственно-временной и называл ее системой отсчета.

[Munin]

rustot в сообщении #1053612 писал(а):

В учебниках преобразования лоренца это именно преобразования между системами отсчета, инерциальными.

В разных учебниках по-разному.

[npduel]

rustot в сообщении #1053612 писал(а):

... я говорил именно о пространственной системе координат с тремя координатами? Нет, я говорил все время о пространственно-временной и называл ее системой отсчета.

В систему отсчёта входит ещё и наблюдатель.
Математическая энциклопедия, т. 4, С. 173:

Цитата:

Отсчёта система - совокупность системы координат и часов, связанных с телом, по отношению к к-рому изучается движение...

[SergeyGubanov]

rustot в сообщении #1053612 писал(а):

Вы какую то экзотическую терминологию предлагаете. В учебниках преобразования лоренца это именно преобразования между системами отсчета, инерциальными.

Странные учебники Вы смотрите. Вот, кстати, ещё посмотрите в книге Грин, Шварц, Виттен Теория суперструн, Том 2, страница 296, формула 12.1.8.

rustot в сообщении #1053612 писал(а):

Ну и считаете как видоизменяется каждый кусочек золота при разгоне для помещения его в нужное место вращающегося тела. Вычислений относительно вращающейся системы отсчета делать не нужно. Весь этот вагон и тележка содержат прямой вопрос о величине в другой системе отсчета, естественно вопрос про другую систему отсчета требует эту систему отсчета

Простите, но у Вас "каша в голове". Для вычисления длин, площадей и объёмов нужно знать трёхмерную метрику пространственного слоя интересующей системы отсчёта.

rustot в сообщении #1053612 писал(а):

Вы полагаете что я говорил именно о пространственной системе координат с тремя координатами? Нет, я говорил все время о пространственно-временной и называл ее системой отсчета.

До этого я догадался. Так вот запомните, четырёхмерная система координат $x^{\mu}$ вообще никакого отношения к системе отсчёта $e^{(a)}_{\mu}$ не имеет. Как бы Вам это объяснить "на пальцах". Система координат просто тупо нумерует точки пространства событий. А система отсчёта указывает для каждой точки пространства событий какое четырёхмерное направление является временным, а какие четырёхмерные направления - пространственными.

[мат-ламер]

SergeyGubanov в сообщении #1053601 писал(а):

Вращающаяся относительно неё система отсчёта:

$$ e^{(0)} = \frac{\bar{e}^{(0)} - \frac{V}{c} \, \bar{e}^{(3)}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}, \quad e^{(1)} = \bar{e}^{(1)}, \quad e^{(2)} = \bar{e}^{(2)}, \quad e^{(3)} = \frac{- \frac{V}{c} \, \bar{e}^{(0)} + \bar{e}^{(3)}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}, \quad V = \Omega \, r \, \sin(\theta). $$

А вот если положить $r=0$, и следовательно $V=0$, будет ли эта система отсчёта продолжать вращаться относительно исходной (т.е. вращение чисто вокруг собственной оси), или будет неподвижной относительно её (как подсказывают формулы)?

[SergeyGubanov]

мат-ламер в сообщении #1053630 писал(а):

А вот если положить $r=0$, и следовательно $V=0$, будет ли эта система отсчёта продолжать вращаться относительно исходной (т.е. вращение чисто вокруг собственной оси), или будет неподвижной относительно её (как подсказывают формулы)?

Ещё есть третий вариант сказать об этом одно и то же: в точке $r=0$ осуществляется вращение с нулевой скоростью.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1053626 писал(а):

Простите, но у Вас "каша в голове".

Поменьше заносчивости, а? Кто бы говорил.

[rustot]

SergeyGubanov в сообщении #1053626 писал(а):

Простите, но у Вас "каша в голове". Для вычисления длин, площадей и объёмов нужно знать трёхмерную метрику пространственного слоя интересующей системы отсчёта.

Я еще раз говорю, когда я говорил что "решение задач не требует вводить дополнительные системы отсчета" то естественно я не имел в виду что эта самая дополнительная "интересующая система отсчета" стоит в условиях задачи. Если впрямую спрашивается а что получится в другой системе отсчета то как без нее обойтись?