Беспроводная передча энергии... по проводам

[amon]

Врать могу, но по-моему, на "эту" калибровочную симметрию тоже условия накладываются - неизменность фазы конденсата, что приводит, кажется, к условию $\operatorname{div}\mathbf{A}=0$ и еще каким-то. В общем, мне надо в учебник залезть, а некогда - проекты писать надо, будь они неладны.

[Cos(x-pi/2)]

Уравнения Лондонов применимы к полям только внутри сверпроводящего тела; и дают там простую картину: при постоянном токе электрическое поле равно нулю, $\mathbf{E}=0,$ а магнитное поле и плотность тока отличны от нуля лишь в тонком (порядка сотен ангстрем) слое тела вблизи его поверхности - на "глубине проникновения". В пустоте же между телами поля подчинены обычной электродинамике Максвелла и ничего "не знают" ни про какую сверхпроводимость тел. Так что, спокойно можно применять сверхпроводники в роли обычных проводов: подключать их к клеммам батарейки, и будут на них поверхностные заряды, и будет между ними обычная разность потенциалов.

Кроме того, ведь в этом топике, имхо, слово "сверхпроводник" - просто краткая замена словам "проводник с настолько малым удельным сопротивлением, что электрическим полем внутри такого проводника можно пренебрегать по сравнению с полем вокруг проводника, и тем самым можно не учитывать поток энергии внутри провода". Малость сопротивления проводов ничуть не мешает вводить понятие "напряжение" между проводами.

peregoudov в сообщении #1053415 писал(а):

пусть сверхпроводящая линия представляет собой два параллельных цилиндрических провода радиуса $a$, расстояние между центрами проводов $b$. Найти электрическое и магнитное поля, вектор Пойнтинга, оценить размер области, в которой сосредоточен поток энергии. Картинки приветствуются!

Формулы для полей $\vec{E}$ и $\vec{H}$ поленюсь здесь выписать; они просто получаются по принципу суперпозиции, как сумма полей от одиночных проводов. Вот картинки рассчитанных по таким формулам векторов на дискретной сетке точек в плоскости, перпендикулярной проводам; для случая с расстоянием между проводами $b=5a:$

Электрическое поле (на левом проводе - заряд "плюс", на правом - такой же по величине "минус"):


Магнитное поле (в левом проводе ток течёт "на нас", в правом - такой же ток "от нас"):


Вектор Пойнтинга сосчитан на более густой сетке точек (400х400). Он всюду направлен "на нас"; его величина больше там, где картинка светлее:

[dvb]

peregoudov в сообщении #1053415 писал(а):

Но я хотел (в пику лжеученым фетишистам) поподробнее рассмотреть конкретную модель линии: двухпроводную линию типа телефонной лапши. Итак, пусть сверхпроводящая линия представляет собой два параллельных цилиндрических провода радиуса $a$, расстояние между центрами проводов $b$. Найти электрическое и магнитное поля, вектор Пойнтинга, оценить размер области, в которой сосредоточен поток энергии.

Ничего не понимаю! Текут себе два одинаковых тока навстречу друг другу по одинаковым проводам - в задаче полная симметрия. Какой поток энергии? Куда? Поставьте задачу корректно, или перейдите к рассмотрению вектора Пойнтинга в сверхпроводящем кольце с возбужденным током.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1053491 писал(а):

Так что, спокойно можно применять сверхпроводники в роли обычных проводов: подключать их к клеммам батарейки, и будут на них поверхностные заряды, и будет между ними обычная разность потенциалов.

Поверхностные токи будут, а вот заряды, если не учитывать погонную емкость, нет, поскольку проводник нейтрален. Сверхпроводящий провод имеет одинаковый потенциал по всей длине, а разность потенциалов имеет место только на источнике и на нагрузке. Эту тему уже топтали, и вот опять пошли заряженные провода...

[rustot]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1053491 писал(а):

Уравнения Лондонов применимы к полям только внутри сверпроводящего тела; и дают там простую картину: при постоянном токе электрическое поле равно нулю, $\mathbf{E}=0,$ а магнитное поле и плотность тока отличны от нуля лишь в тонком (порядка сотен ангстрем) слое тела вблизи его поверхности - на "глубине проникновения".

Насколько я понимаю, сверхпроводимость сама по себе не накладывает ограничения на существование тока (и значит магнитного поля) в глубине проводника. Это ограничение накладывается на производную от них. То есть если проводник станет сверхпроводником в момент протекания тока по всему его сечению, то такое распределение тока там и останется

ps. это с точки зрения классического решения для проводника с бесконечно большой проводимостью. как ведет себя настоящий сверхпроводник не знаю.

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1053491 писал(а):

Формулы для полей $\vec{E}$ и $\vec{H}$ поленюсь здесь выписать; они просто получаются по принципу суперпозиции, как сумма полей от одиночных проводов.

Упс, нет. Иначе было бы, что внутри провода $\mathbf{E}\ne 0,$ а равно полю, созданному другим проводом. Увы, здесь надо честно решать Лапласа на плоскости. И моих воспоминаний о ТФКП недостаточно, чтобы сказать, существует ли вообще точное решение.

Вот для $\mathbf{B},$ наверное, суперпозиция сработает.

Замечу, что здесь нет симметрии между электрической и магнитной частями задачи: плотность зарядов сосредоточена на поверхности, и неравномерна, подчинена условию Дирихле. А плотность тока равномерна по внутреннему сечению провода (если считать его проводимость однородной). Соответственно, нельзя и совершить замену $\varphi\leftrightarrow A_z.$

Вот ваши численные результаты, наверное, посчитаны не по суперпозиции.

dvb в сообщении #1053494 писал(а):

Ничего не понимаю! Текут себе два одинаковых тока навстречу друг другу по одинаковым проводам - в задаче полная симметрия. Какой поток энергии? Куда?

Если бы они просто так текли, то была бы полная симметрия. А в данном случае, между проводами ещё и напряжение. Тогда поток энергии течёт в однозначную сторону.

Смените знак напряжения - энергия потечёт обратно.

dvb в сообщении #1053494 писал(а):

Поверхностные токи будут, а вот заряды, если не учитывать погонную емкость, нет, поскольку проводник нейтрален... Эту тему уже топтали, и вот опять пошли заряженные провода...

Вот, недостаточно "топтали", раз некоторые до сих пор не понимают, что провода обязаны быть заряженными.

Заряды будут именно из-за разности потенциалов между проводами. Раз разность потенциалов есть на источнике и на нагрузке, то она есть и на проводах между источником и нагрузкой: между проводом "с плюсом" и проводом "с минусом". (Разумеется, вдоль одного провода, в данном случае, - нет.) И погонная ёмкость также будет: два провода образуют конденсатор.

[amon]

rustot в сообщении #1053548 писал(а):

Насколько я понимаю, сверхпроводимость сама по себе не накладывает ограничения на существование тока (и значит магнитного поля) в глубине проводника.

В этом, собственно, отличие сверхпроводимости от нулевого сопротивления. Внутри сверхпроводника (первого рода) электрическое и магнитное поле должно зануляться, а ток течь только по поверхности. Поэтому надо, наверное, сверхпроводники заменить на хорошие металлы, как предлагает Cos(x-pi/2), и дискуссию о их потенциале временно закрыть, что я и делаю.

-- 15.09.2015, 16:55 --

Munin в сообщении #1053561 писал(а):

И моих воспоминаний о ТФКП недостаточно, чтобы сказать, существует ли вообще точное решение.

Лаврентьев, Шабат (изд. 1974г -4-е) стр.148. Отображение внешности двух непересекающихся окружностей во внутренность кольца.

[Munin]

amon в сообщении #1053595 писал(а):

Поэтому надо, наверное, сверхпроводники заменить на хорошие металлы, как предлагает Cos(x-pi/2)

Я с самого начала подразумевал именно "хорошие металлы", не думаю, что peregoudov намеревался как-то обращаться к сверхпроводящей специфике.

В частности, здесь:

Munin в сообщении #1053561 писал(а):

плотность тока равномерна по внутреннему сечению провода (если считать его проводимость однородной).

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #1053561 писал(а):

Увы, здесь надо честно решать Лапласа на плоскости. ...

Вот ваши численные результаты, наверное, посчитаны не по суперпозиции.

Дааа... Согласен, это я грубо ошибся (причём, картинки построил между проводами "по суперпозиции", а внутри проводов поле обнулил руками. Плохо. В лучшем случае такие рисунки лишь приближённо могут отражать некоторые черты реальной картины...)

rustot в сообщении #1053548 писал(а):

как ведет себя настоящий сверхпроводник

Для быстрого знакомства с распределением магнитного поля в сверхпроводнике можно прочесть в ЛЛ-9 в главе про сверхпроводимость §44 "Сверхпроводящий ток". Кратко говоря, к ур-ям Максвелла добавляем в качестве материального уравнения вот такое выражение для плотности сверхпроводящего тока

$\vec{j}=\frac{e \hbar}{2m}n_s \left(\nabla \theta-\frac{2e}{\hbar c} \vec{A}\right)$ ,

где $n_s$ это концентрация электронов в сверхпроводящем конденсате, она отлична от нуля только внутри сверхпроводящего тела и её можно там считать не зависящей от координат; $\theta$ - фаза "конденсатной волновой функции". (Это выражение для тока калибровочно инвариантно, т.к. калибровочное преобразование одновременно изменяет и функцию $\theta$ и векторный потенциал $\vec{A},$ а разность в скобках не изменяется; поэтому можно любыми калибровками пользоваться.)

Взяв ротор, получаем уравнение Лондонов: $\operatorname{rot} \vec{j} = -\frac{e^2n_s}{mc} \vec{B}$. Вместе с ур-ями Максвелла оно дает картину проникновения магнитного поля в сверхпроводящее тело и распределение плотности тока в нём: всё оказывается экспоненциально убывающим с расстоянием внутрь тела от его поверхности. Качественно это означает отсутствие поля и тока в толще сверхпроводящего тела; и эта картина не зависит от начальных условий при переходе в сверхпроводящее состояние: если в объёме было поле и ток, то они сами собой вытеснятся к поверхности сверхпроводящего тела.

[rustot]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1053609 писал(а):

Качественно это означает отсутствие поля и тока в толще сверхпроводящего тела; и эта картина не зависит от начальных условий при переходе в сверхпроводящее состояние: если в объёме было поле и ток, то они сами собой вытеснятся к поверхности сверхпроводящего тела.

в процессе вытеснения должно будет возникнуть электрическое поле в толще сверхпроводника, что тоже под запретом. то есть вытесниться он должен успеть до того как проводник окончательно стал сверхпроводящим

[Munin]

(Оффтоп)

Cos(x-pi/2) в сообщении #1053609 писал(а):

Это выражение для тока калибровочно инвариантно, т.к. калибровочное преобразование одновременно изменяет и функцию $\theta$ и векторный потенциал $\vec{A},$ а разность в скобках не изменяется; поэтому можно любыми калибровками пользоваться.

Спасибо!

[dvb]

Munin в сообщении #1053561 писал(а):

Вот, недостаточно "топтали", раз некоторые до сих пор не понимают, что провода обязаны быть заряженными.
Заряды будут именно из-за разности потенциалов между проводами.

Разумеется, но разность потенциалов будет только если есть нагрузка, а от того, на каком конце бесконечных проводов она расположена в исходной постановке, зависит направление вектора Пойнтинга. Можно, например, понять постановку задачи так: на -бесконечности имеем источник тока, на +бесконечности параллельные провода замкнуты. Ну, так никакого заряда, потока энергии и вектора Пойнтинга не будет. А ток - он будет.
Мне непонятно, зачем в тему притягивают сверхпроводники, вполне достаточно идеального проводника, то есть проводника с пренебрежимо малым сопротивлением. Там плотность тока однородна по сечению и магнитное поле в проводнике считабельно. Я полагаю, что если сечение проводника не слишком нулевое, а проводники идут рядом и между ними разность потенциалов, то имеет место поперечная поляризация и поперечное электрическое поле в проводнике, то есть вектор Пойнтинга и там отличен от нуля.

[Munin]

dvb в сообщении #1053896 писал(а):

Разумеется, но разность потенциалов будет только если есть нагрузка

Если вы не поняли из текста peregoudov, что она подразумевается, я ничего не могу поделать.

dvb в сообщении #1053896 писал(а):

Можно, например, понять постановку задачи так: на -бесконечности имеем источник тока, на +бесконечности параллельные провода замкнуты.

Это очень трудно, потому что с одной стороны, провода названы "сверхпроводящими", а с другой - сказано, что на них подано напряжение.

dvb в сообщении #1053896 писал(а):

Мне непонятно, зачем в тему притягивают сверхпроводники, вполне достаточно идеального проводника, то есть проводника с пренебрежимо малым сопротивлением.

По сути, все согласились, что это и подразумевалось.

dvb в сообщении #1053896 писал(а):

Я полагаю, что если сечение проводника не слишком нулевое

А слабо прочитать на эту тему сообщение peregoudov-а?

dvb в сообщении #1053896 писал(а):

Я полагаю, что если сечение проводника не слишком нулевое, а проводники идут рядом и между ними разность потенциалов, то имеет место поперечная поляризация и поперечное электрическое поле в проводнике, то есть вектор Пойнтинга и там отличен от нуля.

Ну и замечательно. Теперь вы согласились с остальными участниками темы.

[Cos(x-pi/2)]

Возвращаюсь к картинкам электрического поля с двумя проводами. Оказывается, эта учебно-воспитательная задачка встречается чуть ли не в каждом задачнике, ибо по счастливому случаю она имеет совсем элементарное решение.

Представим себе вместо проводов конечного радиуса $a$ с расстоянием между центрами $b$ аналогичные две параллельные нити на каком-то расстоянии $2d$ друг от друга; ес-нно, с линейной плотностью заряда $+q$ и $-q.$ Вот уж в случае нитей-то (исчезающе малого радиуса и бесконечной длины), без сомненья, можно найти электрическое поле "по суперпозиции", через простые формулы одиночных нитей. Суммарный потенциал двух нитей в точке наблюдения $x,y$ есть (выписываю его без несущественной аддитивной постоянной, которую при желании можно было бы использовать для обезразмеривания аргументов логарифмов):

$\varphi(x,y)=-2q \ln(r_{+})+2q \ln(r_{-})=-q \ln(r_{+}^2 / r_{-}^2)$ , где

$r_{+}^2=(x+d)^2+y^2$ ,
$r_{-}^2=(x-d)^2+y^2$ .

Уравнение эквипотенциальных поверхностей (линий на плоскости $x,y,$ на которых $\varphi(x,y)=\operatorname{const}$) есть

$\dfrac{r_{+}^2}{r_{-}^2}=c$ , где $c$ - числовой параметр.

К нашему удовольствию это уравнение представляется в форме уравнения окружности:

$(x-d(c+1)/(c-1))^2+y^2=a^2$

с радиусом $a,$ квадрат которого есть

$a^2=d^2 \left(\frac{c+1}{c-1} \right)^2-d^2$ .

При этом смещение центра окружности по оси $x$, т.е. величина $d(c+1)/(c-1),$ может быть приравнена к заданному $b/2$ или $-b/2.$ Из этих условий находим половину расстояния между нитями $d,$ при котором эквипотенциальные поверхности оказываются как раз на месте поверхностей наших исходных проводов:

$d=\sqrt{\dfrac{b^2}{4}-a^2}$ .

Как видно (и такой результат понятен), расстояние $2d$ немного меньше расстояния между центрами проводов $b.$

Расчёт электрического поля между проводами этим методом (т.е. как поля между нитями) показал, что при $b=5a$ исправленные картинки для электрического поля и вектора Пойнтинга визуально очень мало отличаются от приведённых выше картинок, поэтому я их здесь не помещаю. Помещаю только картинку эквипотенциальных контуров вокруг нитей; жирные окружности изображают положение поверхностей проводов (затем при расчете поля идеальных проводов $\vec{E}=-\nabla \varphi$ я внутри обоих кругов его обнуляю руками):

(И вот ещё картинки из аналогичных подсчётов (методом "изображающих нитей") при b=3a:)

Эквипотенциальные контуры нитей и положение поверхностей проводов при $b=3a$:


Электрическое поле при $b=3a$:


Магнитное поле при $b=3a$ снаружи проводов (а внутри проводов оно не изображено, как и раньше, т.к. внутри проводов оно всё равно не даёт вклада в вектор Пойнтинга):

Величина вектора Пойнтинга (плотность потока энергии) при $b=3a$:

[Munin]

Здорово!

[chislo_avogadro]

peregoudov в сообщении #1053171 писал(а):

Таким образом, никакой энергии вдоль провода не передается. Провод лишь поглощает энергию, приходящую из окружающего электромагнитного поля, преобразуя ее в тепло.

Недостатки рассмотренной модели очевидны: в ней нет источника ЭДС и энергия мистическим образом сходится к проводу из бесконечности.

Можно предложить несколько изменённую модель $-$ электронная пушка. Нагрузкой служит мишень. Энергия (электромагнитная часть) идёт к мишени в пространстве вдоль "провода" теперь уже прозаическим образом.