Суперпозиция и потенциал электростатического поля

[kis]

Объясню на примере, что меня интересует. Допустим есть два одинаково заряженных точечных заряда. Надо найти потенциал этой системы зарядов. Обычно потенциал каждого заряда нормирован на ноль в бесконечности. Но что если потенциал одного из зарядов нормирован на ноль в бесконечности, а потенциал другого заряда отсчитывается не от бесконечности, а от какой-то другой точки?
Я по прежнему могу воспользоваться принципом суперпозиции, чтобы найти потенциал поля двух зарядов? Или нужно, чтобы потенциал обоих зарядов отсчитывался от одной и той же точки?

Точечные заряды приведены как пример. Вместо них могут быть заряженные кольца, например.

[Sicker]

kis
Да, можете.
В таком случае у вас будет фактор-группа потенциалов.

[arseniiv]

kis в сообщении #1053126 писал(а):

Я по прежнему могу воспользоваться принципом суперпозиции, чтобы найти потенциал поля двух зарядов? Или нужно, чтобы потенциал обоих зарядов отсчитывался от одной и той же точки?

Так как перенесение нуля потенциала с одной эквипотенциальной поверхности на другую получается простым прибавлением к потенциалу константы, то не важно. Просто ноль потенциала-суммы может получиться на какой-то третьей эквипотенциальной поверхности, и если вам по какой-то причине удобно иметь ноль на какой-то фиксированной из них (скажем, в той же бесконечности), придётся добавить константу для «исправления». Притом, если нули были у обоих складываемых потенциалов на одной и той же поверхности, и у суммы ноль будет там же — и никаких констант не надо будет искать.

-- Вс сен 13, 2015 22:16:35 --

Sicker в сообщении #1053127 писал(а):

В таком случае у вас будет фактор-группа потенциалов.

Здравствуйте, я ваша факторгруппа. Причём здесь она? Потенциалы как были «эквивалентными», если отличаются на константу, так ничего нового при их сложении и не появилось.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1053128 писал(а):

Потенциалы как были «эквивалентными», если отличаются на константу, так ничего нового при их сложении и не появилось.

Ну как, вы же сами писали, что если мы определим множество потенциалов с нулем на какой-то поверхности, то они будут однозначны, те каждому распределению зарядов будет соответствовать один потенциал, и их сумма не будет выходить из этого множества. А вот с потенциалами с нулями на разных поверхностях такого не будет.

[arseniiv]

(Одиэдрспасименя.)

И? Зачем тут говорить, что «будет факторгруппа»? Она и так была, и ничего нового она тут не скажет.

kis
Это мы про то, что, т. к. потенциалы $\varphi$ и $\varphi + \mathrm{const}$ отвечают одному и тому же полю, можно сказать, что есть всего один «потенциал», принадлежащий не множеству всех возможных, а его фактору по отношению данной эквивалентности, и каждый элемент этого фактормножества состоит из множеств вида $\{\varphi + c : c\in\mathbb R\}$ [выделено a posteriori для Sicker]. Так как потенциалы при этом всё так же прекрасно складываются, это ещё и факторгруппа (по сложению), можно считать, что она есть фактор по подгруппе потенциалов, соответствующих тождественно нулевому полю. Ничего нового к интуитивному пониманию ситуации, на мой взгляд, это не добавляет.

Это заодно и для Sicker, в понимании которым фактормножеств я после предыдущего поста засомневался. Элемент фактормножества нельзя естественным образом сопоставить какому-то одному элементу множества, если только это не скучный фактор по отношению равенства. Множество потенциалов с нулём на какой-то одной поверхности ничем не лучше множества потенциалов с нулём на какой-то другой поверхности и фактормножеством множества потенциалов не является.

Такой оффтоп развели

[Sicker]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1053159 писал(а):

Элемент фактормножества нельзя естественным образом сопоставить какому-то одному элементу множества, если только это не скучный фактор по отношению равенства.

А я говорю когда можно.

arseniiv в сообщении #1053159 писал(а):

Множество потенциалов с нулём на какой-то одной поверхности ничем не лучше множества потенциалов с нулём на какой-то другой поверхности и фактормножеством множества потенциалов не является.

Если каждой нулевой поверхности соответствует какой-то один
потенциал, то у вас вообще может не быть группы.

[Munin]

Sicker
Не дурите. Не все факторы в математике - факторгруппы.

[Sicker]

(Оффтоп)

Munin
А фактор-кольцо штоле?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1053180 писал(а):

А я говорю когда можно.

Так я ж сам написал, когда можно: когда это фактор по равенству, $A/{=}_A \equiv A/\{(a,a) : a\in A\}$, т. к. каждый класс будет состоять из одного элемента, и выбор будет единственным. Во всех остальных случаях отождествлять подмножество $A$ с $A/R$ — произвол. Т. е. в данном случае no way.

А если мы рассмотрим множество из потенциалов, нулевых на одной и той же поверхности, они образуют просто группу по сложению. А не факторгруппу.* Понимаю, слово красивое, но не.

* Можно придумать группу, для которой эта была бы фактором, но это уже другая история и к этой теме относится ещё меньше, чем вообще вся эпопея с факторгруппами.