Предел

[DyadushkaSam]

Застрял в одном моменте. нужна помощь

$$\begin{align} &\lim_{x\to \infty }\left(\sqrt[3]{3x^2+4x+1}-\sqrt[3]{3x^2+9x+2}\right) \\=& \lim_{x\to \infty }\left(\sqrt[3]{3x^2\left(1+\frac{4}{3x}+\frac{1}{3x^2}\right)}-\sqrt[3]{3x^2\left(1+\frac3x + \frac{2}{3x^2}\right)}\right) \\=& \lim_{x\to \infty }\sqrt[3]{3x^2}\left(\sqrt[3]{1+\frac{4}{3x}+\frac{1}{3x^2}}-\sqrt[3]{1+\frac3x + \frac{2}{3x^2}}\right) \end{align} $$

Ответ я уже получил более очевидным способом (через сопряженное).

[iifat]

Не понял. Ответ (надеюсь, правильный) получен совершенно правильным методом. Вопрос-то где?

[DyadushkaSam]

iifat, я решил данный предел одним способом. Ответ получил 0. Захотелось мне решить вторым способом, однако я застрял на неопределенности $\infty \cdot 0$. Вот и спрашиваю у вас, что делать дальше? Тупиковый вариант решения?

[DiMath]

DyadushkaSam А как ведет себя Ваша разность в скобках при $x\to\infty$ ?

[gris]

А разве не для того Вы вынесли из под корней множитель, чтобы применить эквивалентность бесконечно малых?

[iifat]

DyadushkaSam в сообщении #1053021 писал(а):

что делать дальше?

Ну, попробовать свести к $\frac00$ и вспомнить правило Лопиталя, например. Возможно — возможно! — чего и получится.

[provincialka]

А можно использовать разложение по формуле Тейлора? Или его еще не проходили?

[DyadushkaSam]

Добавлю несколько моментов: не использовать правило Лопиталя. iifat, увы.

DiMath, ведет себя как ноль. Не знаю, как сказать грамотно.

provincialka, намек ясен. Нет, моя группа еще не проходила Тейлора (мы же экономисты, мы даже про классификацию отображений ничего не знаем!). Но интуитивное представление у меня имеется. Дайте угадаю, Вы планировали разложить один из кубических корней в ряд Тейлора в окрестности нуля?

[provincialka]

Ну да! Впрочем, формально говоря, тут этого не требуется. Вполне достаточно вычесть и прибавить 1 в скобках. И разбить на два предела. Далее -- применить идею

gris в сообщении #1053023 писал(а):

А разве не для того Вы вынесли из под корней множитель, чтобы применить эквивалентность бесконечно малых?

[DyadushkaSam]

В продолжении темы, хотелось бы до конца разобраться в верности решения.

$$\lim _{x\to \infty }\left(\sqrt[3]{3x^2+4x+1}-\sqrt[3]{3x^2+9x+2}\right).$$

$$f(x)=\left(\sqrt[3]{3x^2+4x+1}-\sqrt[3]{3x^2+9x+2}\right)=\sqrt[3]{3x^2}\left(\sqrt[3]{1+\frac{4}{3x}+\frac{1}{3x^2}}-\sqrt[3]{1+\frac3x + \frac{2}{3x^2}}\right).$$

Раскладываем в ряд Тейлора функцию $\sqrt[3]{1+x}$

$$\sqrt[3]{1+x} = 1+\frac{1}{3}x + O(x^2). $$

Тогда имеем

$$f(x) = \sqrt[3]{3x^2}\left(1 + \frac{4}{9x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right) - 1 - \frac{1}{x} -O \left(\frac{1}{x^2}\right)\right)= \sqrt[3]{3x^2} \left(\frac{-5}{9x} + \frac{1}{18x^2} \right + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right). $$

Следовательно

$$\lim _{x\to \infty }\sqrt[3]{3x^2} \left(\frac{-5}{9x} + \frac{1}{18x^2} \right)= \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{3}{x^{-1/3}}^{\to 0} \left( - \frac{5}{9}+\frac{1}{18x}^{\to 0} \right) = 0.$$

[iifat]

Нет. Во-первых, уж ежели вы в качестве $x$ подставляете $\frac4{3x}+\frac1{3x^2}$, то и $O$ будет $O(\frac1{x^2})$. Во-вторых, $\frac1{6x^2}+O(\frac1{x^2})=O(\frac1{x^2})$. В-третьих, $O(\frac1{x^2})-O(\frac1{x^2})=O(\frac1{x^2})$

[DyadushkaSam]

iifat, благодарю за замечания! С первым согласен, а два последних мне не ясны
Можно где-нибудь прочитать про О-символику более подробно, а то, видимо, все забыл...

-- 13.09.2015, 20:22 --

Отредактировал предыдущее сообщение.

[iifat]

DyadushkaSam в сообщении #1053106 писал(а):

Можно где-нибудь прочитать про О-символику

Можно. Если что, скажите, что я разрешил
Литературу не вспомню. У Кнута хорошо описано, но покупать здоровенный том ради этого не советую. В принципе, всё достаточно просто выводится из определения: $y=O(x)$ означает по определению ровным счётом $|y| \leqslant Ax$, где $A$ — некая константа. Не больше и не меньше.

[DyadushkaSam]

iifat, конкретная математика что ли? В электронном виде имеется, почитаем-с.

Больше ошибок в моем решении нет?

[Deggial]

DyadushkaSam заблокирован как злостный клон.