Векторная геометрия. Задача на доказательство.

[lim]

Всех приветствую! Недавно предложили задачу. Формулировка: "Докажите, что в правильном n-угольнике ($n\ge3$) $\sum_{i} a_i=0 \bigl| \vec{a_i}=(O,A_i).$" (Если не совсем хорошо написал, то текстом: Сумма всех векторов, исходящих из центра к каждой вершине равна нулевому вектору.

Что надумал:
1. Доказательство по индукции. Ну очевидно как это делать для чётных $n$. Но как сделать это для нечётных? Не могу уловить.
2. (Совсем сомнительный вариант) Скажем, что произвольный $n$-угольник можно разбить на $n-2$ треугольника. И сумма таких векторов в каждом треугольнике равна нулевому вектору.
3. (Наверное, самый стоящий вариант) Т.к. вектор -- это класс эквивалентности направленных отрезков, то просто переносить их и в результате получить замыкающийся контур.

Не понимаю с какой стороны подступиться к задаче.

[Xaositect]

А что такое центр многоугольника?

[lim]

Xaositect в сообщении #1050623 писал(а):

А что такое центр многоугольника?

Центром правильного n-угольника назовём такую точку a, которая расположена равноудалённо от всех его вершин.

[Xaositect]

А, я пропустил слово "правильного".
Тогда да, можно перенести векторы так, чтобы они образовали другой правильный многоугольник. Надо только доказать, что углы какие нужно.

[lim]

Xaositect в сообщении #1050627 писал(а):

А, я пропустил слово "правильного".
Тогда да, можно перенести векторы так, чтобы они образовали другой правильный многоугольник. Надо только доказать, что углы какие нужно.

Можно подробнее про то, что углы какие нужно?:) (Что именно скрывается за фразой "какие нужно"?)

[grizzly]

lim
А какие-нибудь свойства правильных многоугольников Вам уже известны? Например, что вращение на некоторый угол (с центром в центре) переводит его в себя?

[lim]

grizzly в сообщении #1050631 писал(а):

lim
А какие-нибудь свойства правильных многоугольников Вам уже известны? Например, что вращение на некоторый угол (с центром в центре) переводит его в себя?

Теперь да :) И я даже (кажется) понял решение) Это к 3-ему варианту решения?

-- 05.09.2015, 15:07 --

Ну я могу доказать для 3,4, 5 но не могу из этого найти инд. переход.
Я вижу это как показать, что в треугольнике сумма 0 и потом показывать, что поворотами эта сумма будут оставаться 0. Не совсем то, да?

[grizzly]

lim в сообщении #1050638 писал(а):

Не совсем то, да?

Да, не совсем.

Просто подумайте над такой картинкой. Есть многоугольник и есть нужный нам суммарный вектор. И предположите, что он ненулевой. А теперь сделаем поворот. Многоугольник перейдёт сам в себя. А вектор повернётся на некоторый угол. Вам это не кажется странным? Подумайте.

Но это можно, если Вы вправе пользоваться таким свойством (про вращения) или умеете его обосновать.

[lim]

grizzly в сообщении #1050643 писал(а):

Подумайте.

Прощу прощения за то, что пропал. Проблемы с интернетом.
Прошу проверить то, что получилось...
(Сам в этом сомневаюсь (в честности рассуждения). Больше похоже на доказательство-шмоказательство.)
Док-во:
(Я не доказываю здесь утверждения о повороте, дабы совсем не нарушать правил форума (к моменту доказательства оно разобрано и доказано), но тем, кто набредёт вдруг на эту задачу через поиск в Интернете могу сказать: афинные преобразования, движения плоскости.)
Предположим, что суммарный вектор $\tilde{a}=\sum_{i=1}^{n} a_i\ne \tilde{0}$. Тогда существует угол поворота такой, что $a'=-\tilde{a}$ (раз повернулись векторы, то повернулась и сумма). Но так как сумма не зависит от перестановки слагаемых (это самый максимум, на самом деле просто знаки сменились),то $a'=\tilde{a}\Rightarrow -2\cdot \tilde{a}=\tilde{0} \Rightarrow \tilde{a}=\tilde{0}$

[grizzly]

lim
Ваше доказательство не очень ясно оформлено, но в любом случае его нельзя считать правильным. Такую идею можно было бы применить к правильному многоугольнику с чётным числом сторон. Тогда действительно -- можно повернуть на $180^\circ =\pi $ и провести подобные рассуждения. Только для чётных Вы говорили, что и так несложно. А как Вы вращаете правильный треугольник и что это Вам даст мне неясно.

Моя идея была в том, чтобы повернуть правильный треугольник на $120^\circ =\frac {2\pi} 3$. Нарисуйте картинку и посмотрите, что получается. Ну а общий ход рассуждений будет почти такой. Но запись доказательства хотелось бы тоже видеть более аккуратной.

(upd. исправлены ошибки в формулах)

[lim]

Да, я понимаю про треугольник. А к n-угольнику такие рассуждения неприменимы?

-- 13.09.2015, 01:04 --

grizzly в сообщении #1052900 писал(а):

Нарисуйте картинку и посмотрите, что получается.

Просто получится, что сумма двух векторов равна 3-ему с противоположным знаком.

[grizzly]

lim
Да и к $n$-угольнику. Ведь повернув его вокруг центра вписанной окружности на угол $2\pi /n$, получим тот же $n$-угольник.

Но опять у меня сомнения, что Вы нарисовали и что понимаете. Я же не прошу Вас рисовать сумму трёх векторов и убеждаться, что она нулевая. Я прошу посмотреть на этот рисунок только как на иллюстрацию к нашему доказательству: пусть сумма векторов ненулевая; повернём треугольник; суммарный вектор повернётся, а наши векторы при повороте перейдут друг в друга и, значит, ничего измениться не должно.

Это я расписал только что всю идею, чтобы прояснить картинку в Вашей голове, но запись доказательства должна быть более аккуратной. Попытайтесь ещё, пожалуйста.

(upd. исправлены ошибки в формулах)

[arseniiv]

grizzly в сообщении #1052913 писал(а):

Ведь повернув его вокруг центра вписанной окружности на угол $\pi /n$, получим тот же $n$-угольник

Лучше всё же на $2\pi/n$, а то получается

grizzly в сообщении #1052900 писал(а):

$120^\circ =\frac \pi 3$

[grizzly]

arseniiv
Да, спасибо, я поправлю в своих сообщениях

[ihq.pl]

lim Если знакомы с комплексными числами, то, для коллекции, есть еще один простой
метод: сумма значений корня $n$-ой степени из единицы, которые, как известно, являются вершинами правильного многоугольника, равна нулю.