Сосуд

[dovlato]

Это обобщение задачи, попавшейся мне в школьном детском Лукашике. Кто её настоящий автор, не знаю.
Итак, в сосуде с гладкими стенками налита вода при комнатной температуре. Уровень воды ниже краёв сосуда.
Температурный объёмный коэффициент воды положительный, а у материала сосуда он полагается равным нулю.
Спрашивается, каким образом форма сосуда влияет на знак изменения давления на дне сосуда при повышении температуры.

[Munin]

В вертикальном стакане, очевидно, давление меняться не будет. По сравнению с ним:
- в сужающемся сосуде уровень воды будет расти быстрее, давление на дне будет расти;
- в расширяющемся сосуде уровень воды будет расти медленнее, давление на дне будет падать.
Разумеется, роль играет только форма сосуда в окрестности поверхности воды.

Не очень корректно, но наглядно, это можно представить себе так:
- в расширяющемся сосуде с нагреванием растёт площадь дна, на которую распределён вес жидкости, - давление будет падать;
- в сужающемся сосуде площадь дна, на которую распределён вес жидкости, уменьшается (с учётом того, что купол "вычитается" из дна) - давление будет расти.

[dovlato]

Качественно, да. Я не поленился, нашёл $dp/dt$. Результат понравился простотой и наглядностью.
Без особого труда обобщается и на стекло с ненулевым коэффициентом темп. расширения.

[dovlato]

Да, я не сразу заметил:"Разумеется, роль играет только форма сосуда в окрестности поверхности воды."
Оказывается, нет. Решают не только локальные свойства горла, но и интегральные, по сосуду.

[mihiv]

Если принять, что сосуд имеет форму поверхности вращения, то у меня почему-то получается, что $\dfrac {dp}{dt}=\dfrac {mg\alpha }{\pi r^2}$, где $\alpha $- объемный коэффициент расширения воды, $r$- радиус "горла" сосуда. Т.е. давление всегда возрастает.

[Dmitriy40]

А при какой форме сосуда при увеличении объёма воды может уменьшиться её высота (чтобы давление упало)?!
И тоже думаю что наличие зависимости от объёма (но не формы) всего сосуда очевидна, т.к. расширяться будет вся вода, а высота увеличиваться лишь в сосуде около поверхности воды.

[Munin]

dovlato в сообщении #1052666 писал(а):

Оказывается, нет. Решают не только локальные свойства горла, но и интегральные, по сосуду.

Да. Действительно.

[amon]

Dmitriy40 в сообщении #1052675 писал(а):

А при какой форме сосуда при увеличении объёма воды может уменьшиться её высота

У-уу, как все запущено ... ;) А что, при расширении меняется только объем?

[Munin]

mihiv
Вы учли, что одновременно и плотность воды уменьшается? :-)

[mihiv]

Munin в сообщении #1052711 писал(а):

mihiv
Вы учли, что одновременно и плотность воды уменьшается?

Да, действительно, это дает вклад того же порядка ( с обратным знаком), что и подъем уровня.

[мат-ламер]

Dmitriy40 в сообщении #1052675 писал(а):

И тоже думаю что наличие зависимости от объёма (но не формы) всего сосуда очевидна,

И тоже думаю, что важно отношение площади горла сосуда к средней площади горизонтального сечения сосуда.

[mihiv]

С учетом обоих факторов: $\dfrac {dp}{dt}=mg\alpha \left (\dfrac 1S-\dfrac hV\right )$, где $S$-площадь свободной поверхности воды, $V$- объем воды, $h$- глубина.

[Dmitriy40]

А, понял, я тоже недоучёл уменьшение плотности, каюсь.

(Оффтоп)

Точнее при оценке в уме спутал формулы $mgh$ и $\rho gh$, а масса воды при расширении не менялась ... Ступил.

[dovlato]

Это можно записать так: $\qquad dp=\alpha p\big(\frac{S_a}{S}-1\big)dt$
где $S_a=V/h$ - та самая "средняя площадь горизонтального сечения" сосуда.
Кстати, а если $\alpha_0> 0$ ($\alpha_0$-стекло, $\alpha_1$-вода), то тут есть своя тонкость: а именно, при $\alpha_0=\alpha_1$ при нагреве давление будет падать.
Потому что любая выбранная внутренняя поверхность свою площадь увеличит, а часть веса жидкости, приходящаяся на неё, не изменится.

[dovlato]

О, нашёл настоящих авторов..то есть, вполне возможных авторов: Бендриков, Буховцев, Керженцев, Мякишев: Задачи по физике, 2013, №381.