2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сосуд
Сообщение09.09.2015, 11:27 
Это обобщение задачи, попавшейся мне в школьном детском Лукашике. Кто её настоящий автор, не знаю.
Итак, в сосуде с гладкими стенками налита вода при комнатной температуре. Уровень воды ниже краёв сосуда.
Температурный объёмный коэффициент воды положительный, а у материала сосуда он полагается равным нулю.
Спрашивается, каким образом форма сосуда влияет на знак изменения давления на дне сосуда при повышении температуры.

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение09.09.2015, 11:41 
Аватара пользователя
В вертикальном стакане, очевидно, давление меняться не будет. По сравнению с ним:
- в сужающемся сосуде уровень воды будет расти быстрее, давление на дне будет расти;
- в расширяющемся сосуде уровень воды будет расти медленнее, давление на дне будет падать.
Разумеется, роль играет только форма сосуда в окрестности поверхности воды.

Не очень корректно, но наглядно, это можно представить себе так:
- в расширяющемся сосуде с нагреванием растёт площадь дна, на которую распределён вес жидкости, - давление будет падать;
- в сужающемся сосуде площадь дна, на которую распределён вес жидкости, уменьшается (с учётом того, что купол "вычитается" из дна) - давление будет расти.

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение09.09.2015, 12:09 
Качественно, да. Я не поленился, нашёл $dp/dt$. Результат понравился простотой и наглядностью.
Без особого труда обобщается и на стекло с ненулевым коэффициентом темп. расширения.

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение11.09.2015, 20:34 
Да, я не сразу заметил:"Разумеется, роль играет только форма сосуда в окрестности поверхности воды."
Оказывается, нет. Решают не только локальные свойства горла, но и интегральные, по сосуду.

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение11.09.2015, 21:10 
Если принять, что сосуд имеет форму поверхности вращения, то у меня почему-то получается, что $\dfrac {dp}{dt}=\dfrac {mg\alpha }{\pi r^2}$, где $\alpha $- объемный коэффициент расширения воды, $r$- радиус "горла" сосуда. Т.е. давление всегда возрастает.

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение11.09.2015, 21:24 
А при какой форме сосуда при увеличении объёма воды может уменьшиться её высота (чтобы давление упало)?!
И тоже думаю что наличие зависимости от объёма (но не формы) всего сосуда очевидна, т.к. расширяться будет вся вода, а высота увеличиваться лишь в сосуде около поверхности воды.

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение11.09.2015, 21:34 
Аватара пользователя
dovlato в сообщении #1052666 писал(а):
Оказывается, нет. Решают не только локальные свойства горла, но и интегральные, по сосуду.

Да. Действительно.

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение11.09.2015, 22:58 
Аватара пользователя
Dmitriy40 в сообщении #1052675 писал(а):
А при какой форме сосуда при увеличении объёма воды может уменьшиться её высота
У-уу, как все запущено ... ;) А что, при расширении меняется только объем?

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение11.09.2015, 23:58 
Аватара пользователя
mihiv
Вы учли, что одновременно и плотность воды уменьшается? :-)

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение12.09.2015, 09:22 
Munin в сообщении #1052711 писал(а):
mihiv
Вы учли, что одновременно и плотность воды уменьшается? :-)

Да, действительно, это дает вклад того же порядка ( с обратным знаком), что и подъем уровня.

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение12.09.2015, 09:30 
Аватара пользователя
Dmitriy40 в сообщении #1052675 писал(а):
И тоже думаю что наличие зависимости от объёма (но не формы) всего сосуда очевидна,

И тоже думаю, что важно отношение площади горла сосуда к средней площади горизонтального сечения сосуда.

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение12.09.2015, 12:50 
С учетом обоих факторов: $\dfrac {dp}{dt}=mg\alpha \left (\dfrac 1S-\dfrac hV\right )$, где $S$-площадь свободной поверхности воды, $V$- объем воды, $h$- глубина.

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение12.09.2015, 13:09 
А, понял, я тоже недоучёл уменьшение плотности, каюсь.

(Оффтоп)

Точнее при оценке в уме спутал формулы $mgh$ и $\rho gh$, а масса воды при расширении не менялась ... Ступил. :facepalm:

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение12.09.2015, 15:11 
Это можно записать так: $\qquad dp=\alpha p\big(\frac{S_a}{S}-1\big)dt$
где $S_a=V/h$ - та самая "средняя площадь горизонтального сечения" сосуда.
Кстати, а если $\alpha_0> 0$ ($\alpha_0$-стекло, $\alpha_1$-вода), то тут есть своя тонкость: а именно, при $\alpha_0=\alpha_1$ при нагреве давление будет падать.
Потому что любая выбранная внутренняя поверхность свою площадь увеличит, а часть веса жидкости, приходящаяся на неё, не изменится.

 
 
 
 Re: Сосуд
Сообщение14.10.2015, 10:47 
О, нашёл настоящих авторов..то есть, вполне возможных авторов: Бендриков, Буховцев, Керженцев, Мякишев: Задачи по физике, 2013, №381.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group