Интеграл Лебега что это

[dsge]

В случайных процессах, в финансовой математике должна быть интегрируемость по крайней мере в $L_2$ (в теории вероятностей вообще то все интегралы Лебеговы).

[Brukvalub]

upgrade в сообщении #1048773 писал(а):

Нет, мы считаем математическое ожидание - положено.
Пишем инструкцию для работы сотрудникам. И установка такая - раз математики сказали, что матожидание - это интеграл Лебега, то хоть тресни, но должен вычисляться интеграл Лебега, даже для пары десятков величин с одинаковым распределением у каждой.

В ситуации, когда функция интегрируема по Лебегу, но не по Риману, вычислить этот самый интеграл Лебега удается только в уникальных, специально подобранных для упражнений по Дивану случаях, которые можно пересчитать по пальцам, так что писать подобные инструкции сотрудникам выглядит изощренной издевкой...
Интеграл Лебега является чисто теоретическим инструментом, вещью в себе, игрой разума математиков... Но, раз уж "математики сказали, что матожидание - это интеграл Лебега, то хоть тресни, но должен вычисляться интеграл Лебега"

[upgrade]

Хотите сказать, что нет алгоритма, который позволяет посчитать этот интеграл? То есть нельзя поставить задание программисту, чтобы он написал программу для вычисления матожидания прям вот по Лебегу?

П.С.
да они все (надеюсь) будут интегрируемы по Риману, просто раз написано - Лебег, то Лебег ))

[Brukvalub]

upgrade в сообщении #1048807 писал(а):

:shock:
Хотите сказать, что нет алгоритма, который позволяет посчитать этот интеграл? То есть нельзя поставить задание программисту, чтобы он написал программу для вычисления матожидания прям вот по Лебегу?

П.С.
да они все (надеюсь) будут интегрируемы по Риману, просто раз написано - Лебег, то Лебег ))

Так вы погуглите: "численное вычисление интеграла Лебега."

[dsge]

upgrade в сообщении #1048807 писал(а):

Хотите сказать, что нет алгоритма, который позволяет посчитать этот интеграл? То есть нельзя поставить задание программисту, чтобы он написал программу для вычисления матожидания прям вот по Лебегу?
П.С.
да они все (надеюсь) будут интегрируемы по Риману, просто раз написано - Лебег, то Лебег

Интеграл Ито можно определить только в рамкам интеграла Лебега, т.к. Винеровский процесс обладает некоторыми свойствами, неподходящими для интеграла Римана, как то: это процесс неограниченной вариации, а следовательно его длина равна бесконечности на каждом конечном интервале времени. Но это не значит, что надо численно считать интеграл Лебега (или давать задание программисту), он нужен теоретически только для того, чтобы получить формулу Ито и далее получать то, что необходимо, например функциональная зависимость одной случайной величины от другой их моменты или что-то другое, и вот тогда уже можно "давать задание программисту".

[ИСН]

upgrade, прекратите нести хворост в кучу. Нельзя просто так написать программу для вычисления интеграла Лебега. И Римана тоже, for that matter. Интеграл, который вычисляется программой каким бы то ни было образом - это совсем, совсем другой, особенный интеграл, не Римана и не Лебега. Начнём с ерунды: в нём нет реального стремления интервала к нулю, хотя бы потому, что машинные числа ограничены снизу.

[Anton_Peplov]

upgrade в сообщении #1048697 писал(а):

Потому что я взял учебник Никольского том 2 "Курс математического анализа"
открыл страницу 333, а там чтобы понимать что пишется, надо прочитать все предыдущие 333 страницы...

А. Н. Колмогоров. С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2009.
Если уже знаете, что такое $\sigma$-алгебра, мера и измеримые функции, то читайте сразу с. 310-328, уж 19 страниц осилить можно. Если не знаете, то читайте
с. 47-53 (Гл. I, параграф 5, "Системы множеств") и Гл. V, "Мера, измеримые функции, интеграл", параграфы 1-5 (параграф 6 этой главы, про прямые произведения, можно не читать). Это с. 267-328. Всего получается меньше семидесяти страниц. Если это слишком много, то, как говорится, примите мои соболезнования. Можно, конечно, привести только определения, они займут полстраницы, но толку от этого будет чуть, потому что Вы не поймете, что из этих определений следует и с чем их едят.

[Oleg Zubelevich]

Тем не менее, иногда не хватает именно "только определений" что бы ухватить конструкцию целиком.

Пусть $(X,\sigma,\mu)$ -- пространство с мерой. И пусть $f:X\to \mathbb{R}^m$ -- счетнозначная функция вида $f(x)=\sum_{k\in\mathbb{N}} f_k\chi_{S_k}(x)$, где $\chi_{S_k}(x)$ -- индикатор измеримого множества $S_k,\quad f^{-1}(f_k)=S_k,\quad f_k\ne f_j,\quad k\ne j$.

Определение 1.
1) Функция $f$ называется интегрируемой если $\sum_{k\in\mathbb{N}}|f_k|\mu(S_k)<\infty.$
2) $\int_X fd\mu:=\sum_{k\in\mathbb{N}} f_k\mu(S_k).$

Стандартные свойства интеграла можно проверить уже на этом определении.

Определение 2. Рассмотрим последовательность $g_k(x)$ -- счетнозначных интегрируемых функций такую, что
A) Для любого $\epsilon>0$ найдется номер $N$ такой, что если $n,j>N$ то

$$\int_X|g_j-g_n|d\mu<\epsilon,$$

B) Существует функция $g(x)$ такая, что для всякого $\epsilon>0$ найдется измеримое множество $W_\epsilon$ такое, что $\mu(X\backslash W_\epsilon)<\epsilon$ и последовательность $g_k$ сходится к $g$ равномерно на $W_\epsilon$.
В этом случае функция $g$ называется интегрируемой и $\int_X gd\mu:=\lim_{k\to\infty}\int_X g_kd\mu.$

[Brukvalub]

А почему выбраны именно эти определения?
Ведь еще есть схема Даниеля и интеграл МакШейна, эквивалентный интегралу Лебега.

[ewert]

upgrade в сообщении #1048773 писал(а):

Пишем инструкцию для работы сотрудникам. И установка такая - раз математики сказали, что матожидание - это интеграл Лебега, то хоть тресни, но должен вычисляться интеграл Лебега,

ПишИте инструкцию сотрудникам: интеграл Лебега -- это некое обобщение прекрасно известного всем вам интеграла, которое делает некие формальные конструкции более математически корректными; какие и когда -- не ваше дело, ваше дело спихнуть.

Раз уж это именно инструкция.

-- Сб авг 29, 2015 22:57:58 --

upgrade в сообщении #1048807 писал(а):

То есть нельзя поставить задание программисту, чтобы он написал программу для вычисления матожидания прям вот по Лебегу?

Нет, нельзя. А главное -- нет надобности.

[upgrade]

Правильно я понимаю, что у любого множества есть подмножества с мерами, а интеграл Лебега их подсчитывает (эти измеримые множества)?
То есть берется некоторое множество, меру которого надо найти, бьется на подмножества, меры которых находятся и эти подмножества суммируются.

[ewert]

upgrade в сообщении #1052572 писал(а):

Правильно я понимаю, что у любого множества есть подмножества с мерами, а интеграл Лебега их подсчитывает (эти измеримые множества)?

Не то что правильно или неправильно понимаете, а непонятно вообще -- что Вы пытаетесь понять.

Формальный ответ: интеграл Лебега (как и вообще любой интеграл) ни разу не заточен на "подсчёт" каких-то множеств.

[upgrade]

ewert в сообщении #1052606 писал(а):

что Вы пытаетесь понять

механизм, как он работает, какой результат выдает и о чем говорит этот результат.