Обсуждение определителя

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1052498 писал(а):

Термин " symplectic manifold" переводится как "симплектическое многообразие", в то время как ранее в этой теме b]Munin[/b] заявлял о форме объема в симплектическом пространстве.

Я сначала так и написал "на неметрических многообразиях"... потом подумал, что Brukvalub может придраться к наличию векторов на многообразиях...

(Линейное) симплектическое пространство - это частный случай симплектического многообразия.

Понятие симплектическое пространство введено, например, в
Арнольд, Гивенталь. Симплектическая геометрия. Гл. 1.
Тж.
Фоменко. Симплектическая геометрия. Гл. 1,
но там пространство $\mathbf{R}^{2n}$ называется по тексту евклидовым, что может поначалу сбить. Евклидовой метрики $\mathbf{R}^{2n}$ при рассмотрении его как модели симплектического $L^{2n}$ не используется. Ни метрики, ни скалярного произведения на симплектическом пространстве $L^{2n}$ просто не задано.

Вынужден с сожалением констатировать, что я поторопился отвечать благожелательно и со ссылками. Надо было сначала добиться от Brukvalub положительного ответа, что он не будет писать явных глупостей.

-- 11.09.2015 12:20:17 --

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1052503 писал(а):

Считаю необходимым с самого начала формировать у студента не ошибочное, а правильное понимание обсуждаемых в темах разделов математики

Это, конечно, оч-чень педагогично, когда студент обратился за совсем другими вещами, и в неподходящих обстоятельствах (напоминаю, технический вуз, математика вся одним курсом, первое занятие 1 курса). Вообще-то ваше поведение проходит по грани создания помех нормальной работе раздела ПРР.

[Brukvalub]

Открываем того же Фоменко и читаем определение симплектического пространства со стр. 32, 5-я строка сверху, из которого узнаем, что симплектическая структура на четномерном пр-ве вводится путем задания билинейного, кососимметрического невырожденного СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ, которое позволяет мерить "длину" векторов. Слово "длина" я окавычил, поскольку здесь нарушаются привычные свойства длины. Тем не менее, как я уже объяснял выше, всякий объем обязательно начинается со введения некоторого способа измерения "длин", то есть, например, со введения скалярного произведения.
Так что, не оговорив, какой способ измерения "длин" используется, категорически нельзя сообщать, что

Munin в сообщении #1052369 писал(а):

Квадратную матрицу $n\times n$ можно представить себе (кроме прочих вариантов) как $n$ векторов в $n$-мерном пространстве. Тогда определитель - это будет объём параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.

Неопытный учащийся запомнит такое наглядное "объяснение", донесет его до экзаменатора на экзамене, получит "неуд" и "поблагодарит" форум.
С чем граничит такая "популяризация" математики?

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1052515 писал(а):

Открываем того же Фоменко и читаем определение симплектического пространства со стр. 32, 5-я строка сверху, из которого узнаем, что симплектическая структура на четномерном пр-ве вводится путем задания билинейного, кососимметрического невырожденного СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ, которое позволяет мерить "длину" векторов. Слово "длина" я окавычил, поскольку здесь нарушаются привычные свойства длины.

Странно, что вы не окавычили слова "скалярное произведение", поскольку привычные свойства скалярного произведения также нарушаются (симметричность или эрмитова симметричность).

Brukvalub в сообщении #1052515 писал(а):

Слово "длина" я окавычил, поскольку здесь нарушаются привычные свойства длины. Тем не менее, как я уже объяснял выше, всякий объем обязательно начинается со введения некоторого способа измерения "длин", то есть, например, со введения скалярного произведения.

Расшифрую для окружающих "нарушаются привычные свойства длины": это попросту значит, что "длина" любого вектора нулевая, $(\vec{a},\vec{a})=0,$ где $(\cdot,\cdot)$ - симплектическая форма (которую не принято называть скалярным произведением, а Фоменко использует это слово просто для аналогии; причина в том, что на пространстве могут быть введены одновременно и симплектическая структура, и структура скалярного произведения, и в них не надо путаться; примером являются кэлеровы пространства, широкой публике известные своим частным случаем - пространствами Калаби-Яу).

Таким образом, "длины" рёбер параллелограмма нулевые, а его объём (без кавычек!) всё-таки ненулевой! Отсюда видно, что этот объём не имеет отношения к "длинам", как бы Brukvalub ни хотелось изобразить себя правым.

И разумеется, подобные "длины" в симплектических пространствах вообще никто всерьёз не обсуждает, поскольку симплектическая структура введена не для этого.

Справедливости ради, добавлю, что Brukvalub мог спутать два термина: симплектическое пространство (в дифференциальной геометрии), и симплициальный комплекс (в топологии). Тогда ему могло показаться, что симплектическое пространство не имеет отношения к симплектическому многообразию. Такое возможно только в том случае, если
- с геометрией симплициальных комплексов Brukvalub знаком;
- с геометрией симплектических пространств и многообразий он не знаком, и даже термины эти впервые слышит;
- и к собеседнику a priori относится свысока.
Другие варианты объяснения высказываний Brukvalub неизбежно включают второй и третий пункты, но не первый, так что этот вариант для него наиболее достойный.

[GDTD]

Munin в сообщении #1052369 писал(а):

Квадратную матрицу $n\times n$ можно представить себе (кроме прочих вариантов) как $n$ векторов в $n$-мерном пространстве. Тогда определитель - это будет объём параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.

Во-первых, это ориентированный объем. Во-вторых, дав такое определение определителя, нужно дать определение объема параллелепипеда.

[Munin]

GDTD в сообщении #1052533 писал(а):

Во-первых, это ориентированный объем.

Да. Я с этим никогда не спорил. Но это не стоит сразу сваливать на голову спрашивающего, который с определителями столкнулся в пределах одного занятия. (Можно это пояснить через пять минут, когда первая идея переварится в его мозгу.)

GDTD в сообщении #1052533 писал(а):

Во-вторых, дав такое определение определителя

Нет. Я не говорил, что это определение. (Можно дать и такое определение, но технически это будет уже сложнее, и я не уверен, что это оправдано, особенно в конкретных обстоятельствах.)
Я подразумевал, что это всего лишь пояснение. С понятием объёма достаточно быть знакомым в пределах школьного курса стереометрии.

[Olivka]

Munin в сообщении #1052545 писал(а):

С понятием объёма достаточно быть знакомым в пределах школьного курса стереометрии.

А как в школьной стереометрии вводят понятие объема?

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1052519 писал(а):

Справедливости ради, добавлю, что Brukvalub мог спутать два термина: симплектическое пространство (в дифференциальной геометрии), и симплициальный комплекс (в топологии). Тогда ему могло показаться, что симплектическое пространство не имеет отношения к симплектическому многообразию. Такое возможно только в том случае, если
- с геометрией симплициальных комплексов Brukvalub знаком;

Так получилось, что я в студенчестве слушал и сдавал Анатолию Тимофеевичу спецкурс по симплектической геометрии. Поэтому Munin снова ошибся.

[Munin]

Olivka в сообщении #1052568 писал(а):

А как в школьной стереометрии вводят понятие объема?

Конечно, с трудом. Во многом интуитивно. Без предельного перехода не обойтись уже даже для цилиндров и призм.
Атанасян прямо апеллирует к понятию определённого интеграла. Киселёв обходится без него. У Колмогорова вообще почти ничего толком не сказано.

-- 11.09.2015 16:20:43 --

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1052579 писал(а):

Так получилось, что я в студенчестве слушал и сдавал Анатолию Тимофеевичу спецкурс по симплектической геометрии.

Тогда, получается, сегодня ему пришлось бы снизить вам оценку за этот спецкурс. Это, увы, уже однозначный результат.

[Brukvalub]

Munin , прошу вас разъяснить (а то я совсем запутался ), различаются ли объем параллелепипеда, вычисленный как определитель матрицы, по столбцам которой расположены векторы-ребра, и объем параллелепипеда, вычисленный по формуле: квадрат такого объема равен определителю Грама векторов-ребер?

[Munin]

Во втором случае вы вычисляете не $V,$ а $V^2.$ Этому значению соответстуют два возможных значения $V,$ положительное и отрицательное. Одно из них соответствует вычислению первым способом.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1052595 писал(а):

Во втором случае вы вычисляете не $V,$ а $V^2.$ Этому значению соответстуют два возможных значения $V,$ положительное и отрицательное. Одно из них соответствует вычислению первым способом.

Теперь я совсем ничего не понимаю! Вот возьму я некоторый базис, буду считать его векторы ребрами параллелепипеда, запишу координаты этих ребер в моем базисе, получу единичную матрицу с определителем 1, то есть объем будет 1. Теперь я введу скалярное произведение, задав его на векторах выбранного базиса и рассчитаю определитель Грама, пусть он тоже будет равен 1. Затем я умножу все скалярные произведения на 2, получив новое скалярное произведение, тогда определитель Грама умножится на $2^n$, хотя ни базис, ни параллелепипед, ни единичная матрица не изменятся! Выходит, $1=2^{n/2}$ ?
Прошу Munin помочь мне распутаться!

[Munin]

Форма объёма может быть согласована со скалярным произведением. Тогда два вычисления сходятся (как указано в post1052595.html#p1052595 ). Вы меняете скалярное произведение. Тогда вычисления разойдутся, но их можно опять свести, поменяв соответственно форму объёма.

Определитель есть частный случай формы объёма - естественный для простраства $\mathbb{R}^n.$ Она согласована со стандартным евклидовым скалярным произведением в этом же пространстве.

Насчёт произвольного скалярного произведения - я даже не уверен, что согласованная с ним форма объёма может существовать. Вдруг произведение будет вырожденным?.. Не знаю. Оставляю этот вопрос вам.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1052682 писал(а):

Форма объёма может быть согласована со скалярным произведением.

Я опять ничего не понимаю! Что такое "форма объема"? Как она согласуется со скалярным произведением?

Munin в сообщении #1052682 писал(а):

Определитель есть частный случай формы объёма - естественный для простраства $\mathbb{R}^n.$

Выходит, здесь вы ошиблись:

Munin в сообщении #1052595 писал(а):

Во втором случае вы вычисляете не $V,$ а $V^2.$ Этому значению соответстуют два возможных значения $V,$ положительное и отрицательное. Одно из них соответствует вычислению первым способом.

?

Munin в сообщении #1052682 писал(а):

Насчёт произвольного скалярного произведения - я даже не уверен, что согласованная с ним форма объёма может существовать. Вдруг произведение будет вырожденным?.

Вы не знаете определения скалярного произведения? Обычно на этом этапе я сразу ставлю студиозусу "неуд" и гоню с экзамена.
Напомню: скалярным произведением в вещ. векторном пр-ве называется произвольная вещественнозначная симметрическая НЕВЫРОЖДЕННАЯ функция, заданная на векторах этого пространства.
Как же скалярное произведение может быть вырожденным?
Кроме того, в любом достаточно подробном учебнике линейной алгебры (Гантмахер Теория матриц, Кострикин Линейная алгебра, Шафаревич и Ремизов Линейная алгебра и геометрия и т.п. ) подробно объясняется, что в каждом евклидовом векторном пр-ве есть формула объема параллелепипеда, выражаемая через определитель Грама, как я писал выше.
Удивительно, что вы не знаете таких основ, но поучаете других!

[Xaositect]

Brukvalub в сообщении #1052692 писал(а):

Напомню: скалярным произведением в вещ. векторном пр-ве называется произвольная вещественнозначная симметрическая НЕВЫРОЖДЕННАЯ функция, заданная на векторах этого пространства.

Хм. скалярным произведением называется положительно определенная квадратичная форма на пространстве. Оно, конечно, невырожденное, но Ваша формулировка тоже хромает.

Brukvalub в сообщении #1052692 писал(а):

Я опять ничего не понимаю! Что такое "форма объема"? Как она согласуется со скалярным произведением?

Так.
Форма объема - это полностью антисимметричная полилинейная форма степени, равной степени пространства. Если на пространстве задано скалярное произведение и ориентация, то на нем есть выделенная форма объема (в том смысле, что преобразования, сохраняющие скалярное произведение, будут сохранять форму объема): мы просто говорим, что ортонормированный базис будет иметь объем 1. Обратное неверно - если задана форма объема, то скалярное произведение однозначно определить нельзя. Именно это и имел в виду Munin, когда говорил, что объем можно задать не задавая длины.

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1052692 писал(а):

Я опять ничего не понимаю! Что такое "форма объема"?

Некая $n$-форма в $n$-мерном пространстве. В линейном пространстве - просто внешняя. На гладком многообразии - дифференциальная.

Объём $n$-параллелепипеда вычисляется применением этой формы как $n$-линейной формы к векторам рёбер параллелепипеда.

Вообще-то это всё написано по той ссылке, которую вы первую открыли и с негодованием процитировали.

Brukvalub в сообщении #1052692 писал(а):

Напомню: скалярным произведением в вещ. векторном пр-ве называется произвольная вещественнозначная симметрическая НЕВЫРОЖДЕННАЯ функция, заданная на векторах этого пространства.
Как же скалярное произведение может быть вырожденным? :shock:

Ну что ж, хорошо, если так.

Просто я привык иметь дело с более общим случаем. Поэтому и забыл, когда нужна приставка псевдо-, а когда нет. Псевдометрику часто называют просто метрикой. Псевдо-скалярное произведение? Не уверен, что есть такой термин...

Brukvalub в сообщении #1052692 писал(а):

Удивительно, что вы не знаете таких основ, но поучаете других! :shock:

Вас я не поучал. Я всего лишь констатировал, что у вас в глазу тоже не всё безупречно.

А как насчёт ТС - пусть он нас рассудит. Я старался быть хотя бы конструктивным.