2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Численные методы
Сообщение10.09.2015, 10:40 


20/03/14
35
Помогите пожалуйста, хотя бы идею решения.
Длина периметра правильного вписанного 96-угольника, которым пользовался Архимед при вычислении $\pi$, выражается при $r=1$ формулой $R=96 \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}$. Если вычислять непосредственно по этой формуле, желая получить $\pi$ с точностью до $0.001$, то с какой точностью нужно производить вычисления подкоренных величин?
Подскажите пожалуйста как здесь посчитать эту точность

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4773
Нов-ск
Smolselena в сообщении #1052210 писал(а):
Если вычислять непосредственно по этой формуле, желая получить $\pi$ с точностью до $0.001$, то с какой точностью нужно производить вычисления подкоренных величин?
Если вычислять по этой формуле, то наше желание о точности уже не имеет значения, т.к. формула даже при точном извлечении корней может давать результат хуже желаемого. Так что условие надо уточнить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 13:44 


13/05/14
391

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #1052232 писал(а):
формула даже при точном извлечении корней может давать результат хуже желаемого.

Wolfram Mathematica по этой формуле для $\pi$ дает $3.14103$

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 20:25 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Smolselena в сообщении #1052210 писал(а):
Подскажите пожалуйста как здесь посчитать эту точность

Сначала левый корень расмотреть. Потом, второй слева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 21:07 


20/03/14
35
А что значит рассмотреть? И как посчитать точность ? Подскажите пожалуйста

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 21:18 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Smolselena в сообщении #1052360 писал(а):
А что значит рассмотреть? И как посчитать точность ? Подскажите пожалуйста

Допустим вам надо подсчитать $R$ (не зависимо от того, чтобы это означало) с некоторой точностью $0.001$. Видите, там перед корнем некое число стоит ($96$). Значит первый корень надо подсчитать с точностью большей как-раз в такое же число раз (т.е. $0.00001$). Дальше сами попробуйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 21:23 


20/03/14
35
Вы имеете виду, что $\sqrt{3}$ нужно посчитать с точность в 96 раз больше ,чем 0,001. Я не совсем понимаю, если не сложно можете объяснить более подробно. Буду очень благодарна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 21:41 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Smolselena в сообщении #1052370 писал(а):
Вы имеете виду, что $\sqrt{3}$ нужно посчитать с точность в 96 раз больше ,чем 0,001.

Я там рассуждал про внешний корень. А дальше вы сами продолжите мысль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 21:52 


20/03/14
35
Еще вопрос, если можно, а как от числа это зависит? и почему в итоге внешний корень с точность в 0,00001. Я просто выше объяснение не совсем поняла, почему именно так? с чем это связано?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 23:49 


20/03/14
35
мат-ламер в сообщении #1052381 писал(а):
Smolselena в сообщении #1052370 писал(а):
Вы имеете виду, что $\sqrt{3}$ нужно посчитать с точность в 96 раз больше ,чем 0,001.

Я там рассуждал про внешний корень. А дальше вы сами продолжите мысль.


Скажите пожалуйста , если внешнее подкоренное выражение имеет точность 0,00001, то второй корень 0,000000001 и тд?.

-- 10.09.2015, 23:38 --

Smolselena в сообщении #1052386 писал(а):
Длина периметра правильного вписанного 96-угольника, которым пользовался Архимед при вычислении $\pi$, выражается при $r=1$ формулой

И ответ написан, что погрешность первого подкоренного $6\,10^{-7}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы
Сообщение11.09.2015, 07:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4773
Нов-ск
Если $96\sqrt{a} - 96\sqrt{\tilde a} = 10 ^{-3}$, то $a - \tilde a \approx \dfrac{4 \pi}{96^2} \cdot 10 ^{-3}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы
Сообщение11.09.2015, 16:32 


20/03/14
35
TOTAL в сообщении #1052449 писал(а):
Если $96\sqrt{a} - 96\sqrt{\tilde a} = 10 ^{-3}$, то $a - \tilde a \approx \dfrac{4 \pi}{96^2} \cdot 10 ^{-3}$

Ответ первого подкоренного $6\,10^{-7}$, а так не получается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group