Численные методы

[Smolselena]

Помогите пожалуйста, хотя бы идею решения.
Длина периметра правильного вписанного 96-угольника, которым пользовался Архимед при вычислении $\pi$, выражается при $r=1$ формулой $R=96 \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}$. Если вычислять непосредственно по этой формуле, желая получить $\pi$ с точностью до $0.001$, то с какой точностью нужно производить вычисления подкоренных величин?
Подскажите пожалуйста как здесь посчитать эту точность

[TOTAL]

Smolselena в сообщении #1052210 писал(а):

Если вычислять непосредственно по этой формуле, желая получить $\pi$ с точностью до $0.001$, то с какой точностью нужно производить вычисления подкоренных величин?

Если вычислять по этой формуле, то наше желание о точности уже не имеет значения, т.к. формула даже при точном извлечении корней может давать результат хуже желаемого. Так что условие надо уточнить.

[sqribner48]

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #1052232 писал(а):

формула даже при точном извлечении корней может давать результат хуже желаемого.

Wolfram Mathematica по этой формуле для $\pi$ дает $3.14103$

[мат-ламер]

Smolselena в сообщении #1052210 писал(а):

Подскажите пожалуйста как здесь посчитать эту точность

Сначала левый корень расмотреть. Потом, второй слева.

[Smolselena]

А что значит рассмотреть? И как посчитать точность ? Подскажите пожалуйста

[мат-ламер]

Smolselena в сообщении #1052360 писал(а):

А что значит рассмотреть? И как посчитать точность ? Подскажите пожалуйста

Допустим вам надо подсчитать $R$ (не зависимо от того, чтобы это означало) с некоторой точностью $0.001$. Видите, там перед корнем некое число стоит ($96$). Значит первый корень надо подсчитать с точностью большей как-раз в такое же число раз (т.е. $0.00001$). Дальше сами попробуйте.

[Smolselena]

Вы имеете виду, что $\sqrt{3}$ нужно посчитать с точность в 96 раз больше ,чем 0,001. Я не совсем понимаю, если не сложно можете объяснить более подробно. Буду очень благодарна.

[мат-ламер]

Smolselena в сообщении #1052370 писал(а):

Вы имеете виду, что $\sqrt{3}$ нужно посчитать с точность в 96 раз больше ,чем 0,001.

Я там рассуждал про внешний корень. А дальше вы сами продолжите мысль.

[Smolselena]

Еще вопрос, если можно, а как от числа это зависит? и почему в итоге внешний корень с точность в 0,00001. Я просто выше объяснение не совсем поняла, почему именно так? с чем это связано?

[Smolselena]

мат-ламер в сообщении #1052381 писал(а):

Smolselena в сообщении #1052370 писал(а):

Вы имеете виду, что $\sqrt{3}$ нужно посчитать с точность в 96 раз больше ,чем 0,001.

Я там рассуждал про внешний корень. А дальше вы сами продолжите мысль.

Скажите пожалуйста , если внешнее подкоренное выражение имеет точность 0,00001, то второй корень 0,000000001 и тд?.

-- 10.09.2015, 23:38 --

Smolselena в сообщении #1052386 писал(а):

Длина периметра правильного вписанного 96-угольника, которым пользовался Архимед при вычислении $\pi$, выражается при $r=1$ формулой

И ответ написан, что погрешность первого подкоренного $6\,10^{-7}$

[TOTAL]

Если $96\sqrt{a} - 96\sqrt{\tilde a} = 10 ^{-3}$, то $a - \tilde a \approx \dfrac{4 \pi}{96^2} \cdot 10 ^{-3}$

[Smolselena]

TOTAL в сообщении #1052449 писал(а):

Если $96\sqrt{a} - 96\sqrt{\tilde a} = 10 ^{-3}$, то $a - \tilde a \approx \dfrac{4 \pi}{96^2} \cdot 10 ^{-3}$

Ответ первого подкоренного $6\,10^{-7}$, а так не получается.