2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Численные методы
Сообщение10.09.2015, 10:40 
Помогите пожалуйста, хотя бы идею решения.
Длина периметра правильного вписанного 96-угольника, которым пользовался Архимед при вычислении $\pi$, выражается при $r=1$ формулой $R=96 \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}$. Если вычислять непосредственно по этой формуле, желая получить $\pi$ с точностью до $0.001$, то с какой точностью нужно производить вычисления подкоренных величин?
Подскажите пожалуйста как здесь посчитать эту точность

 
 
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 12:48 
Аватара пользователя
Smolselena в сообщении #1052210 писал(а):
Если вычислять непосредственно по этой формуле, желая получить $\pi$ с точностью до $0.001$, то с какой точностью нужно производить вычисления подкоренных величин?
Если вычислять по этой формуле, то наше желание о точности уже не имеет значения, т.к. формула даже при точном извлечении корней может давать результат хуже желаемого. Так что условие надо уточнить.

 
 
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 13:44 

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #1052232 писал(а):
формула даже при точном извлечении корней может давать результат хуже желаемого.

Wolfram Mathematica по этой формуле для $\pi$ дает $3.14103$

 
 
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 20:25 
Аватара пользователя
Smolselena в сообщении #1052210 писал(а):
Подскажите пожалуйста как здесь посчитать эту точность

Сначала левый корень расмотреть. Потом, второй слева.

 
 
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 21:07 
А что значит рассмотреть? И как посчитать точность ? Подскажите пожалуйста

 
 
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 21:18 
Аватара пользователя
Smolselena в сообщении #1052360 писал(а):
А что значит рассмотреть? И как посчитать точность ? Подскажите пожалуйста

Допустим вам надо подсчитать $R$ (не зависимо от того, чтобы это означало) с некоторой точностью $0.001$. Видите, там перед корнем некое число стоит ($96$). Значит первый корень надо подсчитать с точностью большей как-раз в такое же число раз (т.е. $0.00001$). Дальше сами попробуйте.

 
 
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 21:23 
Вы имеете виду, что $\sqrt{3}$ нужно посчитать с точность в 96 раз больше ,чем 0,001. Я не совсем понимаю, если не сложно можете объяснить более подробно. Буду очень благодарна.

 
 
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 21:41 
Аватара пользователя
Smolselena в сообщении #1052370 писал(а):
Вы имеете виду, что $\sqrt{3}$ нужно посчитать с точность в 96 раз больше ,чем 0,001.

Я там рассуждал про внешний корень. А дальше вы сами продолжите мысль.

 
 
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 21:52 
Еще вопрос, если можно, а как от числа это зависит? и почему в итоге внешний корень с точность в 0,00001. Я просто выше объяснение не совсем поняла, почему именно так? с чем это связано?

 
 
 
 Re: Численные методы
Сообщение10.09.2015, 23:49 
мат-ламер в сообщении #1052381 писал(а):
Smolselena в сообщении #1052370 писал(а):
Вы имеете виду, что $\sqrt{3}$ нужно посчитать с точность в 96 раз больше ,чем 0,001.

Я там рассуждал про внешний корень. А дальше вы сами продолжите мысль.


Скажите пожалуйста , если внешнее подкоренное выражение имеет точность 0,00001, то второй корень 0,000000001 и тд?.

-- 10.09.2015, 23:38 --

Smolselena в сообщении #1052386 писал(а):
Длина периметра правильного вписанного 96-угольника, которым пользовался Архимед при вычислении $\pi$, выражается при $r=1$ формулой

И ответ написан, что погрешность первого подкоренного $6\,10^{-7}$

 
 
 
 Re: Численные методы
Сообщение11.09.2015, 07:05 
Аватара пользователя
Если $96\sqrt{a} - 96\sqrt{\tilde a} = 10 ^{-3}$, то $a - \tilde a \approx \dfrac{4 \pi}{96^2} \cdot 10 ^{-3}$

 
 
 
 Re: Численные методы
Сообщение11.09.2015, 16:32 
TOTAL в сообщении #1052449 писал(а):
Если $96\sqrt{a} - 96\sqrt{\tilde a} = 10 ^{-3}$, то $a - \tilde a \approx \dfrac{4 \pi}{96^2} \cdot 10 ^{-3}$

Ответ первого подкоренного $6\,10^{-7}$, а так не получается.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group