Нахождение ортогональной матрицы

[epros]

$A$, $B$ и $X$ -- действительно-значные ортогональные матрицы $3 \times 3$. $A$ и $B$ известны, а $X$ должна удовлетворять уравнению

$$AX=XB.$$

Каковы условия существования и единственности решения?

-- Ср сен 09, 2015 16:04:54 --

А, да касательно попыток решения: Тут я в полной растерянности, Могу только сказать, что очевидно возможны как случаи, когда решение есть, так и случаи, когда решений нет (например, если $A$ и $B$ коммутируют, но не равны).

[grizzly]

Быть может, более свежий ответ на этот вопрос будет Вам полезен.

-- 09.09.2015, 15:09 --

Ой, единственность там не обсуждается и её при тех условиях, понятно, не будет.

[epros]

В случае трёхмерных ортогональных матриц условие на действительные собственные значения ничего интересного не даст, ибо во всех случаях, кроме единичной матрицы, будет единственное собственное значение, равное единице (соответствует собственному вектору, направленному вдоль оси поворота).

[grizzly]

(Оффтоп)

Но я уже понял, что здесь вопрос не про общую теорию, а про частный случай (я даже не обратил внимание на ортогональность, сорри). Просто кликнул пару раз мышкой и думал, что может быть полезно.

[Oleg Zubelevich]

очевидное необходимое условие состоит в совпадении спектров матриц $A,B$. а так получается какая-то нетривиальная динамическая сиистема $X\mapsto A^{-1}XB$ на $SU(n)$.

[Xaositect]

Нужно найти, какие матрицы в $SO(3)$ сопряжены ($A = XBX^{-1}$).
Ортогональные матрицы $3\times 3$ - это повороты и повороты с инверсией, они различаются знаком определителя, поэтому друг в друга не переходят. Для двух поворотов на один и тот же угол всегда можно построить $X$ - это поворот, который переводит ось одного поворота в ось другого. Если повороты на разные углы, то $X$ не существует, потому что собственные значения разные.
В общем случае, не в $3\times 3$, можно рассмотреть ортогональные базисы, в которых матрица имеет действительную жорданову форму, и $X$ будет переводить один базис в другой.
Единственности никогда не будет, потому что для любой матрицы $Y$, коммутирующей с $A$ (поворот относительно той же оси) из $AX = XB$ следует $A(YX) = (YX)B$

[Slav-27]

Xaositect в сообщении #1051922 писал(а):

В общем случае, не в $3\times 3$, можно рассмотреть ортогональные базисы, в которых матрица имеет действительную жорданову форму, и $X$ будет переводить один базис в другой.

А там же всё то же самое получается, если у них одинаковый спектр (учитывая кратности), то разложить обе в композицию вращений и отражений относительно взаимно перпендикулярных осей (к каноническому виду привести, короче говоря, ортогональным преобразованием), и всё...

Зачем тут жордановы-то формы? (Я туплю где-то?)

(Оффтоп)

$\mathbb{abcdefghijklmnoprstuvwxyz}$
$\mathbb{abcdefghijklmnoprstuvwxyz}$
Это я сначала зачем-то пытался написать общий критерий подобия матриц и у меня там было $\mathbb{R}$, а я опечатался.

[Xaositect]

Так это одно и то же.

[epros]

Xaositect в сообщении #1051922 писал(а):

Для двух поворотов на один и тот же угол всегда можно построить $X$ - это поворот, который переводит ось одного поворота в ось другого. Если повороты на разные углы, то $X$ не существует, потому что собственные значения разные.

Спасибо. Что-то я этого сразу не сообразил.

[INGELRII]

Вопрос в общем $n$-мерном случае: пусть есть хоть одно решение, всегда ли можно подобрать $X$ так, чтобы $X^2=I$?

-- 11.09.2015, 08:44 --

Xaositect в сообщении #1051922 писал(а):

Единственности никогда не будет, потому что для любой матрицы $Y$, коммутирующей с $A$ (поворот относительно той же оси) из $AX = XB$ следует $A(YX) = (YX)B$

Вопрос 2: опять же в многомерном случае, пусть имеются две матрицы $Y_1, Y_2$, коммутирующие с $A$. Что насчет коммутирования игреков друг с другом - всегда\иногда\никогда?

[Xaositect]

INGELRII в сообщении #1052455 писал(а):

Вопрос 2: опять же в многомерном случае, пусть имеются две матрицы $Y_1, Y_2$, коммутирующие с $A$. Что насчет коммутирования игреков друг с другом - всегда\иногда\никогда?

Иногда (в некотором смысле, почти всегда). Все зависит от собственных пространств, потому что эти пространства будут инвариантными относительно $Y$. Если все с.з. матрицы $A$ различны, то комутировать с ней будут только матрицы вида $p(A)$, где $p$ - какой-то многочлен. Понятно, что и между собой они коммутируют. А с другой стороны крайний случай - единичная матрица, она коммутирует с кем угодно.