2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нахождение ортогональной матрицы
Сообщение09.09.2015, 14:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
$A$, $B$ и $X$ -- действительно-значные ортогональные матрицы $3 \times 3$. $A$ и $B$ известны, а $X$ должна удовлетворять уравнению $$AX=XB.$$ Каковы условия существования и единственности решения?

-- Ср сен 09, 2015 16:04:54 --

А, да касательно попыток решения: Тут я в полной растерянности, Могу только сказать, что очевидно возможны как случаи, когда решение есть, так и случаи, когда решений нет (например, если $A$ и $B$ коммутируют, но не равны).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение ортогональной матрицы
Сообщение09.09.2015, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6187
Быть может, более свежий ответ на этот вопрос будет Вам полезен.

-- 09.09.2015, 15:09 --

Ой, единственность там не обсуждается и её при тех условиях, понятно, не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение ортогональной матрицы
Сообщение09.09.2015, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
В случае трёхмерных ортогональных матриц условие на действительные собственные значения ничего интересного не даст, ибо во всех случаях, кроме единичной матрицы, будет единственное собственное значение, равное единице (соответствует собственному вектору, направленному вдоль оси поворота).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение ортогональной матрицы
Сообщение09.09.2015, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6187

(Оффтоп)

Но я уже понял, что здесь вопрос не про общую теорию, а про частный случай (я даже не обратил внимание на ортогональность, сорри). Просто кликнул пару раз мышкой и думал, что может быть полезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение ортогональной матрицы
Сообщение09.09.2015, 16:04 


10/02/11
6786
очевидное необходимое условие состоит в совпадении спектров матриц $A,B$. а так получается какая-то нетривиальная динамическая сиистема $X\mapsto A^{-1}XB$ на $SU(n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение ортогональной матрицы
Сообщение09.09.2015, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6294
Нужно найти, какие матрицы в $SO(3)$ сопряжены ($A = XBX^{-1}$).
Ортогональные матрицы $3\times 3$ - это повороты и повороты с инверсией, они различаются знаком определителя, поэтому друг в друга не переходят. Для двух поворотов на один и тот же угол всегда можно построить $X$ - это поворот, который переводит ось одного поворота в ось другого. Если повороты на разные углы, то $X$ не существует, потому что собственные значения разные.
В общем случае, не в $3\times 3$, можно рассмотреть ортогональные базисы, в которых матрица имеет действительную жорданову форму, и $X$ будет переводить один базис в другой.
Единственности никогда не будет, потому что для любой матрицы $Y$, коммутирующей с $A$ (поворот относительно той же оси) из $AX = XB$ следует $A(YX) = (YX)B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение ортогональной матрицы
Сообщение09.09.2015, 19:50 
Заслуженный участник


14/10/14
794
Xaositect в сообщении #1051922 писал(а):
В общем случае, не в $3\times 3$, можно рассмотреть ортогональные базисы, в которых матрица имеет действительную жорданову форму, и $X$ будет переводить один базис в другой.
А там же всё то же самое получается, если у них одинаковый спектр (учитывая кратности), то разложить обе в композицию вращений и отражений относительно взаимно перпендикулярных осей (к каноническому виду привести, короче говоря, ортогональным преобразованием), и всё...

Зачем тут жордановы-то формы? (Я туплю где-то?)

(Оффтоп)

$\mathbb{abcdefghijklmnoprstuvwxyz}$
$\mathbb{abcdefghijklmnoprstuvwxyz}$
Это я сначала зачем-то пытался написать общий критерий подобия матриц и у меня там было $\mathbb{R}$, а я опечатался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение ортогональной матрицы
Сообщение09.09.2015, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6294
Так это одно и то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение ортогональной матрицы
Сообщение10.09.2015, 13:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Xaositect в сообщении #1051922 писал(а):
Для двух поворотов на один и тот же угол всегда можно построить $X$ - это поворот, который переводит ось одного поворота в ось другого. Если повороты на разные углы, то $X$ не существует, потому что собственные значения разные.

Спасибо. Что-то я этого сразу не сообразил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение ортогональной матрицы
Сообщение11.09.2015, 08:35 
Аватара пользователя


11/08/11
1070
Вопрос в общем $n$-мерном случае: пусть есть хоть одно решение, всегда ли можно подобрать $X$ так, чтобы $X^2=I$?

-- 11.09.2015, 08:44 --

Xaositect в сообщении #1051922 писал(а):
Единственности никогда не будет, потому что для любой матрицы $Y$, коммутирующей с $A$ (поворот относительно той же оси) из $AX = XB$ следует $A(YX) = (YX)B$

Вопрос 2: опять же в многомерном случае, пусть имеются две матрицы $Y_1, Y_2$, коммутирующие с $A$. Что насчет коммутирования игреков друг с другом - всегда\иногда\никогда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение ортогональной матрицы
Сообщение11.09.2015, 11:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6294
INGELRII в сообщении #1052455 писал(а):
Вопрос 2: опять же в многомерном случае, пусть имеются две матрицы $Y_1, Y_2$, коммутирующие с $A$. Что насчет коммутирования игреков друг с другом - всегда\иногда\никогда?
Иногда (в некотором смысле, почти всегда). Все зависит от собственных пространств, потому что эти пространства будут инвариантными относительно $Y$. Если все с.з. матрицы $A$ различны, то комутировать с ней будут только матрицы вида $p(A)$, где $p$ - какой-то многочлен. Понятно, что и между собой они коммутируют. А с другой стороны крайний случай - единичная матрица, она коммутирует с кем угодно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group