Обсуждение определителя

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1052369 писал(а):

Квадратную матрицу $n\times n$ можно представить себе (кроме прочих вариантов) как $n$ векторов в $n$-мерном пространстве. Тогда определитель - это будет объём параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах. Используется очень много где.

Пришла беда, откуда не ждали!Munin запретил матрицы с отрицательным определителем...

Deggial: дискуссия временно выделена сюда отсюда.

[Munin]

С чего бы это? Вы что, отрицательного объёма не видели?

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1052390 писал(а):

С чего бы это? Вы что, отрицательного объёма не видели?

С того, что не нужно писать явных глупостей. Если не догадаетесь о своих глупостях самостоятельно, попросите хорошенько - разъясню.

[dsge]

В.И.Арнольд. О преподавании математики

Цитата:

"Определитель матрицы — это (ориентированный) объём параллелепипеда, рёбра которого — её столбцы. Если сообщить студентам эту тайну (тщательно скрываемую в выхолощенном алгебраическом преподавании), то вся теория детерминантов становится понятной главой теории полилинейных форм. Если же определять детерминанты иначе, то у каждого разумного человека на всю жизнь останется отвращение и к определителям, и к якобианам, и к теореме о неявной функции."

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1052391 писал(а):

С того, что не нужно писать явных глупостей.

вообще-то из того, что некий определитель -- это объём ещё не следует, что объём -- это любой определитель...

dsge в сообщении #1052406 писал(а):

то вся теория детерминантов становится понятной главой теории полилинейных форм.

И тем не менее: Арнольд -- тоже экстремист. Ничего понятного не выйдет: у любого нормального человека объём ассоциируется с понятием меры, и при чём тут какая-то алгебраически полилинейная заумь -- поди ещё допри.

[Brukvalub]

Чтобы определить объем, нужно, как минимум, предварительно определить длину вектора. Это делается введением метрики, согласованной со структурой векторного пространства. Как правило, такую метрику индуцируют введением скалярного произведения. Как известно, после этого объемом параллелепипеда, построенного на базисе, становится квадратный корень из определителя Грама этого базиса. Вот изменю я скалярное произведение, изменится и объем, хотя базис останется тем же самым. Так при чем здесь определитель матрицы и объем параллелепипеда из ее столбцов?

[ewert]

Gybkabob в сообщении #1052364 писал(а):

Что бы одно плавно вытекало из другого. Зарание спасибо.

(после "зарание" надо бы запятую; раз уж это подпись; а чем же ещё это может быть?...)

Приучайтесь к тому, что в математических курсах далеко не всегда всё выплывает плавно. И это неизбежно: при излишнем акценте на плавность любой курс свалится в сороконожесть. Это когда что-то нужно кровь из носу, тут и сейчас, а вот время уже плавно уплыло..

Что же касается собственно определителей, то просто поимейте в виду, что дальше они будут встречаться вам на каждом шагу, и попытайтесь внедриться в формальную логику вам предлагаемого (как бы ни казалось изложение отвратным; в конце-то концов, отвратное до бесконечности встречается редко). Одну из мотиваций Вам уже предложили: объём -- это воистину приятно, пусть даже и с какими-то оговорками. Но она далеко не главная. В основном-то это -- в первую очередь обслуга линейных алгебраических систем.

-- Пт сен 11, 2015 00:59:40 --

Brukvalub в сообщении #1052413 писал(а):

Чтобы определить объем, нужно, как минимум, предварительно определить длину вектора. Это делается введением метрики, согласованной со структурой векторного пространства. Как правило, такую метрику индуцируют введением скалярного произведения.

И даже в 1-м классе?...

Brukvalub в сообщении #1052413 писал(а):

Как известно, после этого объемом параллелепипеда, построенного на базисе, становится квадратный корень из определителя Грама этого базиса.

Кому известно-то?...

Что известно всем -- так это что объём есть просто произведение рёбер. На этом, между кстати, вся мера Лебега основана. И только потом появляются определители; и только уж ещё более потом -- Грамы (применительно к объёмам естественно; так-то они раньше).

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1052413 писал(а):

Чтобы определить объем, нужно, как минимум, предварительно определить длину вектора.

Пришла беда, откуда не ждали! Brukvalub запретил формы объёма в неметрических пространствах (симплектических, например)...

Gybkabob
Ещё одна аналогия, более отдалённая. У вектора был модуль. Это число, которое с вектором связано, и как-то его характеризует (с лучшей или с худшей стороны, это зависит от модуля). Так и тут, у матрицы есть число, которое с матрицей связано, - определитель. Это связь не такая, как у модуля с вектором (например, бывают ненулевые матрицы с нулевыми определителями), но тоже характеризующая, и поэтому полезная.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1052426 писал(а):

например, бывают ненулевые матрицы с нулевыми определителями

Ещё можно упомянуть потенциальную отрицательность определителя (а от матрицы с комплексными элементами — комплексность, и т. п.).

[iifat]

Munin в сообщении #1052426 писал(а):

Brukvalub запретил формы объёма в неметрических пространствах (симплектических, например)

Проштудировал в Википедии «симплектические пространства». Объёмов не нашёл. Можно чуть поподробнее? Ну или ссылочку какую, где эти понятия совокуплены.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1052426 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1052413 писал(а):

Чтобы определить объем, нужно, как минимум, предварительно определить длину вектора.

Пришла беда, откуда не ждали! Brukvalub запретил формы объёма в неметрических пространствах (симплектических, например)...
...

Убедительно прошу специалиста Munin помочь мне исправить мою неграмотность и поделиться ссылкой про " формы объёма в неметрических пространствах (симплектических, например)"

[Munin]

(Оффтоп)

Olivka в сообщении #1052439 писал(а):

Насколько я вижу, автор Gybkabob уже потерял интерес к этой теме.

Вероятнее, он просто занят, как студент, и не появится здесь до сегодняшнего вечера, или даже позже.

Brukvalub в сообщении #1052456 писал(а):

Убедительно прошу специалиста Munin помочь мне исправить мою неграмотность и поделиться ссылкой про " формы объёма в неметрических пространствах (симплектических, например)" :oops: :oops: :oops: :D

А вы не будете писать явных глупостей? https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_form

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1052495 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1052456

писал(а):
Убедительно прошу специалиста Munin помочь мне исправить мою неграмотность и поделиться ссылкой про " формы объёма в неметрических пространствах (симплектических, например)"
А вы не будете писать явных глупостей? https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_form

Цитирую по ссылке Munin
"In mathematics, a volume form on a differentiable manifold is a nowhere-vanishing top-dimensionial form"
Перевожу: "В математике, форма объема на ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОМ многообразии - это невыроженная дифференциальная форма максимальной размерности...."
Не вижу ни слова про "пространство", в частности, про "линейное, не метрическое, симплектическое пространство"
"Any symplectic manifold (or indeed any almost symplectic manifold) has a natural volume form."
Термин " symplectic manifold" переводится как "симплектическое многообразие", в то время как ранее в этой теме Munin заявлял о форме объема в симплектическом пространстве.
Вывод: либо Munin не понимает разницы между этими понятиями "пространство" и "многообразие", либо не может дать подтверждение своим словам.

[provincialka]

(Munin,Brukvalub)

Господа! Кончайте ругаться, вы же в студенческой теме...

[Brukvalub]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1052500 писал(а):

(Munin,Brukvalub)

Господа! Кончайте ругаться, вы же в студенческой теме...

В моих сообщениях нет ни одного бранного слова, их целью было установление истины, а не обругивание оппонента. Считаю необходимым с самого начала формировать у студента не ошибочное, а правильное понимание обсуждаемых в темах разделов математики и исправлять ошибки, свои или других комментаторов.