расстояние между случайными точками

[asinistroso]

Здравствуйте!
Помогите решить задачу.
На квадрате со стороной 1 выбираются 2 случайные точки (распределение равномерное, координаты точек независимы). Какова вероятность того, что расстояние между точками не больше $r$, где $0\le r\le \sqrt {2}$ - заранее заданое число?

[maxal]

Пусть координаты точек $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$, где $0\leq x_1,y_1,x_2,y_2\leq 1$.

Расстояние между точками не будет превышать $r$, если выполняется неравенство:

$$(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 \leq r^2.$$

Функция плотности распределения каждой из этих точек равна $f(t)=1$ для $t\in[0,1]$.

Вычислим функцию $g(t)$ плотности распределения величины $(x_1 - x_2)^2.$

Тогда плотность распределения величины $(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2$ равна

$$h(t) = \begin{cases}\int_0^t g(s) g(t-s) ds & \mbox{для}\ 0\leq t\leq 1;\\ \int_{t-1}^1 g(s) g(t-s) ds & \mbox{для}\ 1\leq t\leq 2.\end{cases}$$

Ну и теперь собственно искомая вероятность равна:

$$\int_0^{r^2} h(t) dt,$$

который вы легко вычислите сами.

[asinistroso]

Ух ты! Вот уж не ожидала такого быстрого и полного ответа!
Спасибо огромное!!!

[asinistroso]

2 maxal

Извините, я опять чего-то не понимаю
Я начала пересчитывать плотность для $(x_1-x_2)^2$ (т.е. должна получить $g(t)=2-2t$). И у меня получается не такой ответ.
Укажите, пожалуйста, где я делаю ошибку?
$f_{x_1}(t)=1, t\in[0,1]$
Плотность $-x_2$: $f_{-x_2}(t)=1, t\in[-1,0]$
Плотность $x_1-x_2$: $\int_{-\infty}^{\infty}f_{x_1}(u)f_{-x_2}(t-u)du = \int_0^1 1\cdot f_{-x_2}(t-u)du = \int_{\max\{0, t\}}^{\min\{1, t+1\}} 1 du =$
$= \min\{1, t+1\} - \max\{0, t\} = \begin{cases} t+1 & \mbox{для}\ -1\leq t\leq 0;\\ 1-t & \mbox{для}\ 0\leq t\leq 1 \end{cases}$
Теперь надо возвести в квадрат. Поскольку $x^2$ не монотонна на [-1, 1], то находим плотность $|x_1-x_2|$: $f_{|x_1-x_2|} = 2-2t, t\in [0, 1]$ (вот наверное здесь я и делаю ошибку Но с другой стороны вроде правильно:
$P(|x|<t)=0, t\le 0$
$t>0: P(|x|<t)=P(-t<x<t)=\int_{-t}^t f_x(s)ds=2\int_0^t f_x(s)ds$ (равность интегралов, потому что функция симметрична относительно 0)
т.е. получается, что $t>0: \int_0^t f_{|x|}(s)ds=F_{|x|}(t)=2\int_0^t f_x(s)ds$, т.е $t>0: f_{|x|}(t)=2 f_x(t)$)
И теперь плотность $(x_1-x_2)^2$
Мы возводим в квадрат, т.е. рассматриваем преобразование $g(x) = x^2, g^{-1}(x)=\sqrt{x}, (g^{-1}(x))'=\frac{1}{2}x^{-1/2}$, которое монотонно на [0, 1]
$f_{(x_1-x_2)^2}(t)=|(g^{-1}(t))'|f_{|x_1-x_2|}(g^{-1}(t)) $ = $\frac{1}{2}t^{-1/2}f_{|x_1-x_2|}(\sqrt{t}) = \frac{1}{2}t^{-1/2}(2 - 2\sqrt{t})= \frac{1}{\sqrt{t}}-1$

Помогите, пожалуйста...

[maxal]

У вас все правильно. Это у меня была ошибка в функции $g(t)$.
Но идея вычисления та же: вычислите $h(t)$ (оно будет другим), а затем

$$\int_0^{r^2} h(t) dt.$$

[asinistroso]

а, поняла а то я сомневалась Спасибо огромное за помощь!

если я правильно посчитала h(t), то это
$h(t)=\begin{cases} \pi-4\sqrt{t}+t, 0\le t\le 1\\ -2\arccos(\frac{1}{t})+2\arccos(\frac{t-1}{t})+4\sqrt{t-1}-2-t, 1\le t\le 2 \end{cases}$
Теперь осталось проинтегрировать, и тут у меня опять проблемы
Подскажите, как разобраться с этим \arccos(\frac{t-1}{t}) и \arccos(\frac{1}{t}) ? а то с первого "подхода" ничего не получилось.
Зато хоть для $r \le 1$ разобралась

[Someone]

А какая проблема с этими арккосинусами?

[maxal]

http://integrals.com берет такие интегралы влет

[asinistroso]

maxal писал(а):

http://integrals.com берет такие интегралы влет

ух ты! вот это здорово!
А то я попробовала "угадать", но ниче путного в голову не пришло. А тут вправду сходу получается
Класс!
Даже не знаю, как Вас благодарить!

[asinistroso]

А подскажите ещё одно

Вот я выбираю на том же самом квадрате уже $N$ точек и хочу знать вероятность того, что одна из этих точек (выбрана мною, фиксирована) имеет ровно $0 \le k \le N$ соседей на расстоянии не больше $r$. Тут просто:
$C_{(N-1)}^k P^k (1-P)^{(N-1)-k}$

(где $P$ - посчитаная ранее вероятность того, что две случайно выбраные точки находятся на расстоянии не больше фиксированого радиуса)

или я чего-то не учитываю и все сложнее?

Заранее спасибо!

[maxal]

asinistroso писал(а):

Вот я выбираю на том же самом квадрате уже $N$ точек и хочу знать вероятность того, что одна из этих точек (выбрана мною, фиксирована) имеет ровно $0 \le k \le N$ соседей на расстоянии не больше $r$. Тут просто:
$C_{(N-1)}^k P^k (1-P)^{(N-1)-k}$

(где $P$ - посчитаная ранее вероятность того, что две случайно выбраные точки находятся на расстоянии не больше фиксированого радиуса)

или я чего-то не учитываю и все сложнее?

Все сложнее. События "расстояние от точки A до точки B меньше r" и "расстояние от точки A до точки C меньше r" не являются независимыми (или же это надо сначала доказать).

Вот пример попроще: пусть у нас есть две монетки $A$ и $B$, сбалансированных так, что у них орел выпадает с вероятностью $\frac{1}{3}$, решка - с вероятностью $\frac{2}{3}$. Тогда вероятность того, что на монетке $B$ выпало то же самое, что и на $A$, равна

$$\frac{1}{3}\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\frac{2}{3} = \frac{5}{9}.$$

Пусть теперь монетки не 2, а три и мы бросаем их одновременно. Тогда вероятность того, что на $B$ и $C$ выпало то же самое, что и на $A$, равна:

$$\frac{1}{3}\frac{1}{3}\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\frac{2}{3}\frac{2}{3} = \frac{1}{3},$$

но отнюдь не

$$\frac{5}{9}\frac{5}{9} = \frac{25}{81}.$$

[PAV]

asinistroso писал(а):

Вот я выбираю на том же самом квадрате уже $N$ точек и хочу знать вероятность того, что одна из этих точек (выбрана мною, фиксирована) имеет ровно $0 \le k \le N$ соседей на расстоянии не больше $r$. Тут просто:
$C_{(N-1)}^k P^k (1-P)^{(N-1)-k}$

Если взять первую точку не случайной, а с известными координатами, то эта формула будет верна, только надо будет для данной точки найти площать пересечения круга с центром в данной точке и квадрата, в котором берутся случайные. Эта площать определяет величину $P$. Можно ее найти аналитически, как и раньше, но координаты точки нужно считать фиксированными. А уже затем всю указанную формулу надо усреднить по этим координатам.

[asinistroso]

maxal, PAV, спасибо огромное! Очень доходчиво объяснили

Теперь только для проверки.

Т.е. я считаю что-то в стиле $P(x, y)$ - вероятность того, что точка с координатами $(x, y)$ на расстоянии не более $r$ от случайно выбраной другой. Потом вероятность того, что в этот "круг" попали $k$ из $N-1$ случайно выбраных точек равна:
$C_{(N-1)}^k P(x, y)^k (1-P(x,y))^{N-k-1}$
А теперь усредняем:
$\int_0^1 \int_0^1 C_{(N-1)}^k P(x, y)^k (1-P(x,y))^{N-k-1}dxdy$
насколько я понимаю, в принципе надо поделить на площать квадрата, но она ж равна 1.

[PAV]

Да, именно так.

[asinistroso]

ура-ура-ура! я поняла и разобралась