градиент, ротор, дивергенция

[abiturient]

Вопрос такой. Нужно, чтоб мне посоветовали литературу, наверное, пока не очень глубоко погружающую в предмет--"Дифференциальные формы", но такую, чтоб заполнить некую "нестрогость" с определениями этих дифф. операторов. Я, конечно, видел определения: "на языке дифф. форм градиент--это внешняя производная $\operatorname{grad}\longleftrightarrow d$", $\operatorname{rot} \longleftrightarrow \ast d$ и $\operatorname{div} \longleftrightarrow \ast d \ast$. Хотелось бы понять, что это значит.

[Sicker]

Вам надо узнать, что такое звезда Ходжа.

[Oleg Zubelevich]

Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия

[Munin]

Для первого знакомства достаточно Зорича или даже, простите за пошлость, Ильина-Позняка.

Кроме того, хорошо бы понимать, что

abiturient в сообщении #1052060 писал(а):

Я, конечно, видел определения: "на языке дифф. форм градиент--это внешняя производная $\operatorname{grad}\longleftrightarrow d$", $\operatorname{rot} \longleftrightarrow \ast d$ и $\operatorname{div} \longleftrightarrow \ast d \ast$.

верно только в 3-мерном пространстве.

[abiturient]

Наша программа на 1м курсе ФФ (теор поток) покрывала учебник Ильин-Позняк.
Зорича читаю.
Хорошо. Может я чего-то не допонял. Как строго определить данные дифф. операторы?

[Munin]

abiturient в сообщении #1052102 писал(а):

Как строго определить данные дифф. операторы?

Тензоры знаете? С них на дифформы очень легко переходить: дифформа есть полностью антисимметрический тензор.

[abiturient]

Знаю на уровне "любительской самодеятельности".
Munin, а вы не можете подсказать, где про эти дифформы прочесть, чтоб не особо углубляться. Понятно, что всё равно потом учить будем фундаментально. И сдавать...Просто эта "некая нестрогость" на "общей физике" немного раздражает. "Давайте притворимся, что набла --вектор и запишем..."

[kp9r4d]

Мне понравилась эта статья. Хотя я и сам не до конца во всё это въехал.

[Утундрий]

Munin в сообщении #1052097 писал(а):

или даже, простите за пошлость, Ильина-Позняка.

Ну, почему сразу - пошлость. Вот я именно там с энтими дифференциальными формами и познакомился. Правда, спустя некоторое время, раззнакомился обратно. Но это мои закидоны, а учебник нормально излагает. Разве только непонятно, с какой радости $n$-мерный куб там обозван "сингулярным".

[kp9r4d]

Утундрий в сообщении #1052119 писал(а):

Разве только непонятно, с какой радости $n$-мерный куб там обозван "сингулярным".

Так обозван не он, а его непрерывное (иногда вырожденное и как раз потому — сингулярное) отображение его куда-то, не? Это же везде так, а не только там.

[Утундрий]

Могит быть, могит быть... У меня его сейчас под рукой ни бумажного ни электронного нет. По памяти излагаю. Помню, бумага в нём получше была, чем в линейной алгебре и место это про дифференциальные формы мелким шрифтом набрано. Типа, дополнительное чтение. Вроде бы, точно не уверен, перемножение было проиллюстрировано посредством роты солдат. Или поездов? Или, может, вообще не было проиллюстрировано? Да нет, наверняка было. Или не было. Не в этом суть. Главное, что формула Стокса в общем виде и куб. Сингулярный. В память врезалось.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: тематика вопроса.

[Munin]

Допустим, мы имеем тензор $\varphi_{i\ldots j}$ - полностью антисимметрический, все индексы нижние. Тогда на языке дифформ мы имеем дифформу $\varphi.$ Ранг тензора называется степенью формы. Любая операция с дифформой включает в себя обязательную антисимметризацию, чтобы потом получить снова полностью антисимметрический тензор.

Операции:
- внешнее произведение $\varphi\wedge\psi$ - определяется как $\varphi_{[i\ldots j}\psi_{k\ldots l]}$
- внутреннее произведение с вектором $\iota_v\varphi$ или $v\lrcorner\varphi$ - определяется как $v^i \varphi_{i\ldots j}$
- внешний дифференциал $d\,\varphi$ или $\mathrm{d}\,\varphi$ - определяется как $\partial_{[i}\varphi_{j\ldots k]}$
- сопряжение (звезда) Ходжа $*\varphi$ или $\star\varphi$ - определяется в разных текстах по-разному:
$(\star\varphi)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}=\dfrac{1}{(n-k)!}\varphi^{j_1,\ldots,j_k}\,\sqrt{|\det g|}\,\epsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}}$
либо: с множителем $(-1)^\ldots$
либо: с верхними, а не нижними, индексами.
Сопряжение Ходжа переводит $p$-форму в $n-p$-форму (или поливектор), за счёт того, что у них одинаковое количество независимых компонент. В частности, оно сопоставляет 3-мерные 2-формы и векторы (возникающие в векторном произведении, то есть, псевдовекторы).

Специальные обозначение:
- дифформы очень любят обозначать буквой $\omega,$ но иногда это произвольная форма, а иногда какая-то специальная - будьте осторожнее; вообще, греческими буквами
- базисные 1-формы $dx^1,\ldots dx^n$ - это базисные ковекторы (тензоры ранга $(0,1)$) вида $(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$
- базисные векторы $\dfrac{\partial}{\partial x^1},\ldots\equiv \partial_{x^1},\ldots$
Обозначение $dx^\alpha$ мотивировано тем, что если взять скалярную функцию $x^\alpha$ (которая является 0-формой), и от неё внешний дифференциал $d$ (который будет попросту градиентом), то как раз и получится нужный базисный ковектор.
Обозначение $\dfrac{\partial}{\partial x^\alpha}$ мотивировано тем, что произведения $\dfrac{\partial}{\partial x^\alpha}dx^\beta,$ прочитанные "обычным" способом, дают тот же результат, что и прочитанные в смысле нотации дифформ.
Для $p$-форм базисными являются формы вида $dx^i\wedge\ldots\wedge dx^j.$

Дифформа $\varphi$ называется замкнутой, если $d\varphi=0.$
Дифформа $\varphi$ называется точной, если существует другая дифформа $\psi,$ такая что $d\psi=\varphi.$
$dd\varphi=0$ всегда.
Всякая точная форма является замкнутой; обратное вообще говоря неверно, и зависит от топологии области (здесь есть связь с когомологиями).
Любая форма может быть разложена в сумму $\varphi=d\psi+(\star d\star)\chi$ - разложение Ходжа, аналог разложения Гельмгольца.

----------------

Интеграл
от дифформы считается корректным только тогда, когда это интеграл от $p$-формы по $p$-мерному многообразию (или подмногообразию). То есть, 1-формы можно интегрировать по линиям, 2-формы - по поверхностям, и так далее. Такой интеграл не зависит от введённых координат на многообразии (чем дифформы и удобны, по сравнению с остальными тензорами). Интеграл записывается в несколько непривычном виде: $\int_M\varphi,$ но если расписать подынтегральную форму через базис, то получится нечто более знакомое: $\int_M f\,dx^i\wedge\ldots\wedge dx^j,$ где $f$ - скалярная функция, а $dx^i\wedge\ldots\wedge dx^j$ - элемент соответствующего многообразия (линии, поверхности и т. п.), ориентированный.

Обобщённая теорема Стокса:
$\int_M d\varphi=\int_{\partial M}\varphi,$
где $\partial M$ обозначает край (границу) многообразия $M.$

----------------

Про производную Ли, ковариантную производную и пуллбэк не напишу.

-- 10.09.2015 00:19:22 --

abiturient в сообщении #1052110 писал(а):

Munin, а вы не можете подсказать, где про эти дифформы прочесть, чтоб не особо углубляться.

Кроме названных, вспомнил ещё
Арнольд. Мат. методы класс. механики.

И наоборот, если хочется все зубы обломать.
Сарданашвили. Современные методы теории поля. Т. 1. Геометрия и классические поля.

Утундрий в сообщении #1052119 писал(а):

Ну, почему сразу - пошлость.

Ну потому что это, всё-таки, не Зорич :-)
Кроме того, там дано даже меньше минимума. Теорема Стокса, и всё.

[Утундрий]

Munin в сообщении #1052125 писал(а):

там дано даже меньше минимума. Теорема Стокса, и всё.

А большего и не нужно...

[abiturient]

Munin, спасибо большое.