Упражнения:
0. Какова максимальная степень дифформы в
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-мерном пространстве, чтобы она не была тождественно нулевой?
1. Выписать в явном виде (в виде матриц или покомпонентно) все независимые компоненты дифформ:
- всех не-тождественно-нулевых степеней в 1-мерном пространстве;
- всех не-тождественно-нулевых степеней в 2-мерном пространстве;
- всех не-тождественно-нулевых степеней в 3-мерном пространстве;
- всех не-тождественно-нулевых степеней в 4-мерном пространстве.
2. Выписать, чему будут равны все не-тождественно-нулевые внешние произведения для всех сочетаний
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
и
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
:
- некоторой
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
-формы и некоторой
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
-формы в 1-мерном пространстве;
- некоторой
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
-формы и некоторой
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
-формы в 2-мерном пространстве;
- некоторой
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
-формы и некоторой
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
-формы в 3-мерном пространстве;
- некоторой
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
-формы и некоторой
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
-формы в 4-мерном пространстве.
3. Выписать, чему будут равны все сопряжения Ходжа (в каком-то одном определении)
- всех форм в 1-мерном пространстве;
- всех форм в 2-мерном пространстве;
- всех форм в 3-мерном пространстве;
- всех форм в 4-мерном пространстве.
4. Выписать, чему будут равны все не-тождественно-нулевые внешние дифференциалы
- всех форм в 1-мерном пространстве;
- всех форм в 2-мерном пространстве;
- всех форм в 3-мерном пространстве;
- всех форм в 4-мерном пространстве.
5. Выписать, чему будут равны все не-тождественно-нулевые результаты оператора
![$(\star d\star)$ $(\star d\star)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63b21f6bdce08028ff59f695e5eda78282.png)
(кодифференциала)
- всех форм в 1-мерном пространстве;
- всех форм в 2-мерном пространстве;
- всех форм в 3-мерном пространстве;
- всех форм в 4-мерном пространстве.
6. Выписать все содержательные (не для тождественно-нулевых форм) формулировки теоремы Стокса:
- в 1-мерном пространстве;
- в 2-мерном пространстве;
- в 3-мерном пространстве;
- в 4-мерном пространстве.