градиент, ротор, дивергенция

[Munin]

Упражнения:
0. Какова максимальная степень дифформы в $n$-мерном пространстве, чтобы она не была тождественно нулевой?
1. Выписать в явном виде (в виде матриц или покомпонентно) все независимые компоненты дифформ:
- всех не-тождественно-нулевых степеней в 1-мерном пространстве;
- всех не-тождественно-нулевых степеней в 2-мерном пространстве;
- всех не-тождественно-нулевых степеней в 3-мерном пространстве;
- всех не-тождественно-нулевых степеней в 4-мерном пространстве.
2. Выписать, чему будут равны все не-тождественно-нулевые внешние произведения для всех сочетаний $p$ и $q$:
- некоторой $p$-формы и некоторой $q$-формы в 1-мерном пространстве;
- некоторой $p$-формы и некоторой $q$-формы в 2-мерном пространстве;
- некоторой $p$-формы и некоторой $q$-формы в 3-мерном пространстве;
- некоторой $p$-формы и некоторой $q$-формы в 4-мерном пространстве.
3. Выписать, чему будут равны все сопряжения Ходжа (в каком-то одном определении)
- всех форм в 1-мерном пространстве;
- всех форм в 2-мерном пространстве;
- всех форм в 3-мерном пространстве;
- всех форм в 4-мерном пространстве.
4. Выписать, чему будут равны все не-тождественно-нулевые внешние дифференциалы
- всех форм в 1-мерном пространстве;
- всех форм в 2-мерном пространстве;
- всех форм в 3-мерном пространстве;
- всех форм в 4-мерном пространстве.
5. Выписать, чему будут равны все не-тождественно-нулевые результаты оператора $(\star d\star)$ (кодифференциала)
- всех форм в 1-мерном пространстве;
- всех форм в 2-мерном пространстве;
- всех форм в 3-мерном пространстве;
- всех форм в 4-мерном пространстве.
6. Выписать все содержательные (не для тождественно-нулевых форм) формулировки теоремы Стокса:
- в 1-мерном пространстве;
- в 2-мерном пространстве;
- в 3-мерном пространстве;
- в 4-мерном пространстве.