положительный ряд

[maxal]

Докажите, что для всех $x>1$ справедливо неравенство

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}k}{(x^{k}+1)^2} > 0.$$

Найдите предел левой части при $x\to 1+$.

(источник)

[Evgenjy]

Данный ряд не является положительным.

[maxal]

Evgenjy, неужели? Приведите значение $x>1$, для которого он неположителен.

[worm2]

Знакоположительным не является

[iancaple]

Предел $\frac 1{16}$ . Уровень IMC, не меньше

[maxal]

iancaple в сообщении #1051950 писал(а):

Предел $\frac 1{16}$ .

Как нашли?

iancaple в сообщении #1051950 писал(а):

Уровень IMC, не меньше

Решается методами, доступными старшеклассникам.

[iancaple]

maxal в сообщении #1051957 писал(а):

iancaple в сообщении #1051950 писал(а):

Предел $\frac 1{16}$ .

Как нашли?

Никак.График построил с точностью $10^{-10}$

[ex-math]

Понятно, что при $x\to1+0$ можно приблизительно заменить $1+x^k$ на $2x^{k/2}$. Это даст нужную $1/16$. Но непонятно, как показать, что разность будет стремиться к нулю. Там такой ряд получается:

$$ \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}k(x^k-1)^2}{4x^k(x^k+1)^2}. $$

Ясно, что числитель маленький (можно даже $(x-1)^2$ вынести), но как это использовать, не испортив знакопеременность, которую здесь важно сохранить, пока непонятно.

[Evgenjy]

(Оффтоп)

maxal в сообщении #1051865 писал(а):

Evgenjy, неужели? Приведите значение $x>1$, для которого он неположителен.

Фихтенголц ГЛ. XI, параграф 2. Сходимость положительных рядов

[kp9r4d]

В смысле Абеля предельный ряд легко суммируется, поэтому достаточно показать, что предел существует (для второй части задания).

[maxal]

Evgenjy, вместо решения задачи, вы занимайтесь казуистикой. В заглавном сообщении чётко указано, в каком смысле понимается ряд и его положительность.

[ex-math]

kp9r4d
Какая связь между суммируемостью предельного ряда к некоторому числу и значением предела?

[iancaple]

Я пожалуй приведу и свою попытку решения, из-за которой я подумал, что это IMC-подобное.$y=\frac 1x<1$
$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}k\frac {y^{2k}}{(1+y^k)^2}=\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{k-1}k\sum_{m=1}^{\infty}m(-y^k)^{m+1}=\sum_{m,k\geq 1}(-1)^{m+k}mky^{mk+k}=\\\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{m=2}^{\infty}(mk-k)(-1)^{m+k-1}y^{mk}=\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}y^m}{(1+y^m)^2}+\sum_{s=2}^{\infty}sy^s\sum_{km=s,m>1}(-1)^{m+k-1}$
Коэффициент в степенном ряде-это разность числа разложений $s$ в произведения чисел разной четности и одной четности, второй сомножитель больше 1, выражается через функции Эйлера кратных аргументов, в итоге останутся функции Эйлера всех нечетных чисел,но ряд уже не будет степенным. Похоже на ряд Ламберта

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)y^n }{1-y^n}= \frac{y}{(1-y)^2}$$

и/или производную от него.
Свернуть до выражения суммы ряда через спецфункции, может и не выйдет, но продолжать упрощать?

[juna]

$$\lim_{x\to 1+} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}k}{(x^k+1)^2}= \frac{1}{4}\cdot\sum_{k=1}^{\infty}{(-1)^{k-1}k}$$

$$\sum(-1)^{k-1}k=1-2+3-4+5-6+\ldots=\frac{1}{4}$$

(По Абелю)

[maxal]

Подсказка для честного вычисления предела: подставить $x=e^t$ и воспользоваться тождеством $\frac{1}{\cosh(y)^2}=1-\tanh(y)^2$.