2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 положительный ряд
Сообщение09.09.2015, 04:55 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Докажите, что для всех $x>1$ справедливо неравенство
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}k}{(x^{k}+1)^2} > 0.$$
Найдите предел левой части при $x\to 1+$.

(источник)

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение09.09.2015, 08:31 


13/08/14
350
Данный ряд не является положительным.

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение09.09.2015, 13:54 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Evgenjy, неужели? Приведите значение $x>1$, для которого он неположителен.

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение09.09.2015, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Знакоположительным не является :D

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение09.09.2015, 17:05 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Предел $\frac 1{16}$ . Уровень IMC, не меньше

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение09.09.2015, 17:19 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
iancaple в сообщении #1051950 писал(а):
Предел $\frac 1{16}$ .

Как нашли?
iancaple в сообщении #1051950 писал(а):
Уровень IMC, не меньше

Решается методами, доступными старшеклассникам.

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение09.09.2015, 17:31 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
maxal в сообщении #1051957 писал(а):
iancaple в сообщении #1051950 писал(а):
Предел $\frac 1{16}$ .

Как нашли?
Никак.График построил с точностью $10^{-10}$

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение09.09.2015, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Понятно, что при $x\to1+0$ можно приблизительно заменить $1+x^k$ на $2x^{k/2}$. Это даст нужную $1/16$. Но непонятно, как показать, что разность будет стремиться к нулю. Там такой ряд получается:
$$
\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}k(x^k-1)^2}{4x^k(x^k+1)^2}.
$$
Ясно, что числитель маленький (можно даже $(x-1)^2$ вынести), но как это использовать, не испортив знакопеременность, которую здесь важно сохранить, пока непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение09.09.2015, 19:33 


13/08/14
350

(Оффтоп)

maxal в сообщении #1051865 писал(а):
Evgenjy, неужели? Приведите значение $x>1$, для которого он неположителен.

Фихтенголц ГЛ. XI, параграф 2. Сходимость положительных рядов

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение09.09.2015, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
В смысле Абеля предельный ряд легко суммируется, поэтому достаточно показать, что предел существует (для второй части задания).

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение09.09.2015, 20:10 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Evgenjy, вместо решения задачи, вы занимайтесь казуистикой. В заглавном сообщении чётко указано, в каком смысле понимается ряд и его положительность.

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение09.09.2015, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
kp9r4d
Какая связь между суммируемостью предельного ряда к некоторому числу и значением предела?

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение10.09.2015, 09:14 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Я пожалуй приведу и свою попытку решения, из-за которой я подумал, что это IMC-подобное.$y=\frac 1x<1$
$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}k\frac {y^{2k}}{(1+y^k)^2}=\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{k-1}k\sum_{m=1}^{\infty}m(-y^k)^{m+1}=\sum_{m,k\geq 1}(-1)^{m+k}mky^{mk+k}=\\\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{m=2}^{\infty}(mk-k)(-1)^{m+k-1}y^{mk}=\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}y^m}{(1+y^m)^2}+\sum_{s=2}^{\infty}sy^s\sum_{km=s,m>1}(-1)^{m+k-1}$
Коэффициент в степенном ряде-это разность числа разложений $s$ в произведения чисел разной четности и одной четности, второй сомножитель больше 1, выражается через функции Эйлера кратных аргументов, в итоге останутся функции Эйлера всех нечетных чисел,но ряд уже не будет степенным. Похоже на ряд Ламберта $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)y^n }{1-y^n}= \frac{y}{(1-y)^2}$$ и/или производную от него.
Свернуть до выражения суммы ряда через спецфункции, может и не выйдет, но продолжать упрощать?

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение10.09.2015, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
$$\lim_{x\to 1+} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}k}{(x^k+1)^2}=
\frac{1}{4}\cdot\sum_{k=1}^{\infty}{(-1)^{k-1}k}$$
$$\sum(-1)^{k-1}k=1-2+3-4+5-6+\ldots=\frac{1}{4}$$ (По Абелю)

 Профиль  
                  
 
 Re: положительный ряд
Сообщение10.09.2015, 14:01 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Подсказка для честного вычисления предела: подставить $x=e^t$ и воспользоваться тождеством $\frac{1}{\cosh(y)^2}=1-\tanh(y)^2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group