Задача на одномерное гармоническое колебание.

[Roxkisabsver]

Всем привет. Решаю задачу, а именно:

"Заряженная частица массы $m$ и заряда $e$ совершает одномерное гармоническое колебание с частотой $\omega$ (заряженный гармонический осциллятор). Найти закон убывания средней за период полной энергии $E$, обусловленный дипольным излучением Начальная энергия осциллятора равна $E_{0}$. Принять, что потеря энергии за период мала по сравнению со средней энергией."

Вот моё решение.

Запишу сразу уравнение движения гармонического осциллятора: $x=A \sin(\omega t)$.

Также запишу интенсивность излучения через это уравнение: $I=\frac{2 e^2 A^2 \omega^4 \sin^2(\omega (t-r/c))}{3c^3}$

Средняя энергия за период будет находиться по формуле: $E=(1/T) \int\limits_{0}^{T}I(t)dt$.

Но когда я считаю этот интеграл я получаю какую-то дичь, а именно: $E=(1/T) \frac{2 e^2 A^2 \omega^4}{3c^3} (T/2 - (1/2\omega) \sin(\omega T))$

Ребят в чем проблема и где использовать условие "...принять, что потеря энергии за период мала по сравнению со средней энергией."

[amon]

Roxkisabsver в сообщении #1051495 писал(а):

Также запишу интенсивность излучения через это уравнение: $I=\frac{2 e^2 A^2 \omega^4 \sin^2(\omega (t-r/c))}{3c^3}$

С чего вдруг полная интенсивность от расстояния зависит?

[Geen]

Roxkisabsver в сообщении #1051495 писал(а):

е использовать условие "...принять, что потеря энергии за период мала по сравнению со средней энергией."

Вообще говоря, $A$ зависит от времени...

[Roxkisabsver]

amon в сообщении #1051496 писал(а):

С чего вдруг полная интенсивность от расстояния зависит?

Исправил, но вернее формула, как я думаю, не стала.

-- 08.09.2015, 11:56 --

Geen в сообщении #1051501 писал(а):

Вообще говоря, $A$ зависит от времени...

Не понимаю как мне это поможет.

[amon]

А $\sin(\omega T)$ по-Вашему, чему равен? (Там еще где-то лажа, но мне сейчас некогда, думаю, другие товарищи помогут. Успехов!)

[Roxkisabsver]

amon в сообщении #1051503 писал(а):

А $\sin(\omega T)$ по-Вашему, чему равен? (Там еще где-то лажа, но мне сейчас некогда, думаю, другие товарищи помогут. Успехов!)

Ну по всей видимости нулю, т.к. в момент времени $T$ колеблющаяся точка проходит через точку равновесия.

[rustot]

Roxkisabsver в сообщении #1051495 писал(а):

где использовать условие "...принять, что потеря энергии за период мала по сравнению со средней энергией."

Вы его уже использовали, записав $x = A \sin(w t)$ вместо $A(t) \sin(w t)$, то есть сделав вид что в течение одного расчетного периода амплитуда не меняется в результате потерь энергии

Поле пропорционально ускорению, энергия поля и излучаемая (теряемая) мощность квадрату ускорения и собственно только квадрат ускорения и нужно усреднять за период

$a(t) = \frac{d^2}{dt^2} x(t) = - A w^2 \sin(w t)$
$a(t)^2 = \frac{A^2 w^4}{2} (1 - \cos(2 w t))$

Среднее $\frac{A^2 w^4}{2}$ и так хорошо видно без интегрирования

"Дичью" вы возможно посчитали $w^4$ вместо "ожидаемого" $w^2$ фигурирующего в мощности излучения провода с током? Но обратите внимание что фиксированная амплитуда тока - это фиксированная амплитуда скорости $A w$ заряда а не фиксированная амплитуда координаты $A$ в вашем примере. Увеличивая частоту при фиксированном токе вы обратно пропорционально частоте уменьшаете $A$, именно поэтому там мощность пропорциональна $w^2$