2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на одномерное гармоническое колебание.
Сообщение08.09.2015, 11:30 


26/06/13
78
Всем привет. Решаю задачу, а именно:

"Заряженная частица массы $m$ и заряда $e$ совершает одномерное гармоническое колебание с частотой $\omega$ (заряженный гармонический осциллятор). Найти закон убывания средней за период полной энергии $E$, обусловленный дипольным излучением Начальная энергия осциллятора равна $E_{0}$. Принять, что потеря энергии за период мала по сравнению со средней энергией."

Вот моё решение.

Запишу сразу уравнение движения гармонического осциллятора: $x=A \sin(\omega t)$.

Также запишу интенсивность излучения через это уравнение: $I=\frac{2 e^2 A^2 \omega^4 \sin^2(\omega (t-r/c))}{3c^3}$

Средняя энергия за период будет находиться по формуле: $E=(1/T) \int\limits_{0}^{T}I(t)dt$.

Но когда я считаю этот интеграл я получаю какую-то дичь, а именно: $E=(1/T) \frac{2 e^2 A^2 \omega^4}{3c^3} (T/2 - (1/2\omega) \sin(\omega T))$

Ребят в чем проблема и где использовать условие "...принять, что потеря энергии за период мала по сравнению со средней энергией."

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на одномерное гармоническое колебание.
Сообщение08.09.2015, 11:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5255
ФТИ им. Иоффе СПб
Roxkisabsver в сообщении #1051495 писал(а):
Также запишу интенсивность излучения через это уравнение: $I=\frac{2 e^2 A^2 \omega^4 \sin^2(\omega (t-r/c))}{3c^3}$
С чего вдруг полная интенсивность от расстояния зависит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на одномерное гармоническое колебание.
Сообщение08.09.2015, 11:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
Roxkisabsver в сообщении #1051495 писал(а):
е использовать условие "...принять, что потеря энергии за период мала по сравнению со средней энергией."

Вообще говоря, $A$ зависит от времени...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на одномерное гармоническое колебание.
Сообщение08.09.2015, 11:52 


26/06/13
78
amon в сообщении #1051496 писал(а):
С чего вдруг полная интенсивность от расстояния зависит?


Исправил, но вернее формула, как я думаю, не стала.

-- 08.09.2015, 11:56 --

Geen в сообщении #1051501 писал(а):
Вообще говоря, $A$ зависит от времени...


Не понимаю как мне это поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на одномерное гармоническое колебание.
Сообщение08.09.2015, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5255
ФТИ им. Иоффе СПб
А $\sin(\omega T)$ по-Вашему, чему равен? (Там еще где-то лажа, но мне сейчас некогда, думаю, другие товарищи помогут. Успехов!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на одномерное гармоническое колебание.
Сообщение08.09.2015, 12:04 


26/06/13
78
amon в сообщении #1051503 писал(а):
А $\sin(\omega T)$ по-Вашему, чему равен? (Там еще где-то лажа, но мне сейчас некогда, думаю, другие товарищи помогут. Успехов!)


Ну по всей видимости нулю, т.к. в момент времени $T$ колеблющаяся точка проходит через точку равновесия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на одномерное гармоническое колебание.
Сообщение08.09.2015, 12:06 
Заслуженный участник


29/11/11
4390
Roxkisabsver в сообщении #1051495 писал(а):
где использовать условие "...принять, что потеря энергии за период мала по сравнению со средней энергией."


Вы его уже использовали, записав $x = A \sin(w t)$ вместо $A(t) \sin(w t)$, то есть сделав вид что в течение одного расчетного периода амплитуда не меняется в результате потерь энергии

Поле пропорционально ускорению, энергия поля и излучаемая (теряемая) мощность квадрату ускорения и собственно только квадрат ускорения и нужно усреднять за период

$a(t) = \frac{d^2}{dt^2} x(t) = - A w^2 \sin(w t)$
$a(t)^2 = \frac{A^2 w^4}{2} (1 - \cos(2 w t))$

Среднее $\frac{A^2 w^4}{2}$ и так хорошо видно без интегрирования

"Дичью" вы возможно посчитали $w^4$ вместо "ожидаемого" $w^2$ фигурирующего в мощности излучения провода с током? Но обратите внимание что фиксированная амплитуда тока - это фиксированная амплитуда скорости $A w$ заряда а не фиксированная амплитуда координаты $A$ в вашем примере. Увеличивая частоту при фиксированном токе вы обратно пропорционально частоте уменьшаете $A$, именно поэтому там мощность пропорциональна $w^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group