Разбить последовательность поворотов в матрице поворотов

[GreenEkatherine]

Споткнулась на ровном месте.

Есть последовательность поворотов: матрицы $M_x, M_y, M_z$, которые поворачивают систему координат вокруг осей $OX, OY$ и $OZ$ соответственно. Вектор в исходной системе координат $a$, в повернутой – $a'$. Справедливы равенства:
$M_x \cdot M_y \cdot M_z \cdot a = a'\\ a = M_z^T \cdot M_y^T \cdot M_x \cdot a'$

Известно, что умножение матриц не коммутативно и переставлять их местами нельзя. Не меняя порядка хотелось бы разбить повороты на два вектора и добиться их совпадения. Но при этом векторы $M_x \cdot M_y \cdot a$ и $M_z^T \cdot a'$ не совпадают. Почему так происходит и как добиться их совпадения?

[iifat]

GreenEkatherine в сообщении #1051191 писал(а):

Не меняя порядка хотелось бы разбить повороты на два вектора и добиться их совпадения

GreenEkatherine в сообщении #1051191 писал(а):

векторы $M_x \cdot M_y \cdot a$ и $M_z^T \cdot a'$ не совпадают

А с какого, стесняюсь спросить, рожна им бы совпадать?
$a'=M_x \cdot M_y\cdot M_z \cdot a$
$M_x^T \cdot a'=M_y\cdot M_z \cdot a$
$M_x^T \cdot M_y^T\cdot a'=M_z \cdot a$
$M_x^T \cdot M_y^T\cdot M_z^T \cdot a'=a$
Всё остальное — от лукавого.

[Ingus]

GreenEkatherine в сообщении #1051191 писал(а):

разбить повороты на два вектора

Повороты задаются матрицами. Что значит "разбить повороты на вектора"?
Статья из Вики о перестановочности поворотов уже изучена?

-- 07.09.2015, 14:40 --

iifat в сообщении #1051231 писал(а):

$a'=M_x \cdot M_y\cdot M_z \cdot a$
$M_x^T \cdot a'=M_y\cdot M_z \cdot a$
$M_x^T \cdot M_y^T\cdot a'=M_z \cdot a$
$M_x^T \cdot M_y^T\cdot M_z^T \cdot a'=a$

А по моему и здесь сокрыто лукавство...

[TOTAL]

GreenEkatherine в сообщении #1051191 писал(а):

Не меняя порядка хотелось бы разбить повороты на два вектора и добиться их совпадения.

Не меняя порядка чего?
При разбитии поворота получаются векторы?
Добиться совпадения поворотов или векторов или чего?

[GreenEkatherine]

iifat в сообщении #1051231 писал(а):

А с какого, стесняюсь спросить, рожна им бы совпадать?
$a'=M_x \cdot M_y\cdot M_z \cdot a$
$M_x^T \cdot a'=M_y\cdot M_z \cdot a$
$M_x^T \cdot M_y^T\cdot a'=M_z \cdot a$
$M_x^T \cdot M_y^T\cdot M_z^T \cdot a'=a$
Всё остальное — от лукавого.

За $M_x^T \cdot a'=M_y\cdot M_z \cdot a$ спасибо, именно про это я и спрашивала. В двух последних ошибка, правильно:
$M_y^T \cdot M_x^T\cdot a'=M_z \cdot a$
$M_z^T \cdot M_y^T\cdot M_x^T \cdot a'=a$

[Ingus]

GreenEkatherine в сообщении #1051254 писал(а):

В двух последних ошибка, правильно:

Правильно . Ошибка. Транспонированные матрицы следуют в обратном порядке.

[iifat]

Ingus в сообщении #1051232 писал(а):

здесь сокрыто лукавство

GreenEkatherine в сообщении #1051254 писал(а):

В двух последних ошибка

Да. Соврал. Бросьте в меня камень, пожалуйста.

[epros]

GreenEkatherine, так чего Вы хотите? Можно $M_x \cdot M_y \cdot M_z$ представить как один поворот на некоторый угол вокруг некоторой оси.

[GreenEkatherine]

epros,

GreenEkatherine в сообщении #1051254 писал(а):

За $M_x^T \cdot a'=M_y\cdot M_z \cdot a$ спасибо, именно про это я и спрашивала.

То есть я хотела повернуть одновременно и исходную и конечную систему координат так, чтобы координаты вектора в этих двух системах координат совпали (то есть совпали сами системы). Но, как стало понятно из ответов, перепутала порядок поворотов в обратном случае.

[epros]

А вот так: $M_y^T \cdot M_x^T \cdot a'=M_z \cdot a$?
А вот так: $M_x \cdot M_y^T \cdot M_x^T \cdot a'=M_x \cdot M_z \cdot a$?
Можно ещё десяток вариантов придумать. А смысл?