Экспонента ряда Дирихле.

[hassword]

$\exp(\sum_{i=2}^{\infty} \frac{a_i}{i^s})=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{A_i}{i^s},$,где
$ A_1=1; A_2=a_2; A_3=a_3; A_4=a_4+\frac{a_2^2}{2}; A_5=a_5;A_6=a_6+a_3a_2; A_7=a_7; A_8=a_8+{a_4}{a_2}+\frac{a_2^3}{6}; A_9=a_9+\frac{a_3^2}{2}; A_{10}=a_{10}+{a_5}{a_2}; A_{11}=a_{11}; A_{12}=a_{12}+{a_4}{a_3}+{a_6}{a_2}+{a_3}\frac{a_2^2}{2} ; ........ $

Найти $A_{i}=?$

[arseniiv]

А чего тут сложного? Коэффициент перед произведением $a_{i_1}\cdots a_{i_n}$, соответствующим разложению $i = i_1\cdots i_n$, равен количеству различных перестановок $(i_1,\ldots,i_n)$, делённому на $n!$. Первое есть $n!/n_1!\cdots n_k!$, где $n_i$ — степени элементов в мультимножестве $\{i_1,\ldots,i_n\}$, т. е. целиком коэффициент равен просто $1/n_1!\cdots n_k!$.

Например, в выражении для $A_{72}$ коэффициент перед $a_2^3a_3^2$ будет $1/3!2! = 1/12$.

Теперь надо определить, что конкретно входит в сумму, но (нестрогая дизъюнкция) я не знаю теорию чисел (что достаточно близко к истине) или ничего просто выглядящего тут нет.

-- Сб сен 05, 2015 04:39:42 --

Что касается просто записи, то, если использовать мультииндексы, это получится просто и легко:

$$A_n = \sum_{\substack{\nu\in N^* \\ n = \prod\nu}} \frac{a_\nu}{\lvert\nu\rvert!}.$$

Здесь $N=\mathbb N\setminus\{1\}$, $N^*$ — множество кортежей любой длины (в том числе 0 и 1) из элементов $N$, $\lvert\nu\rvert$ — количество элементов в кортеже $\nu$, $a_\nu = \prod_{i=1}^{\lvert\nu\rvert} a_{\nu_i}$. Формула работает даже для $A_1$ (пустой кортеж и факториал нуля).

-- Сб сен 05, 2015 04:42:57 --

А, ну и $\prod\nu = \prod_{i=1}^{\lvert\nu\rvert} \nu_i$. Так что, если вам была случайно нужна просто понятная запись, вот она здесь.

[hassword]

arseniiv в сообщении #1050562 писал(а):

Так что, если вам была случайно нужна просто понятная запись, вот она здесь

нужна была только закономерность
но и за удобную запись спасибо, буду знать