ЛЛ-3. Операторы. Вопрос по формуле.

[tech]

Здравствуйте.
Возник вопрос по переходу от формулы $(4.4)$:

$$\widetilde{\hat{f} \hat{g}}=\tilde{\hat{f}} \tilde{\hat{g}}$$

к формуле $(4.5)$:

$$(\hat{f}\hat{g})^{+}=\hat{g}^{+}\hat{f}^{+}$$

Ранее для операторов, соответствующих действительным физическим величинам, было доказано соотношение $(3.16)$:

$$\hat{f}^{+}=\tilde{\hat{f}}^{*}$$

Берём комплексно сопряженное от обеих сторон $(4.4)$ и получаем, применяя $(3.16)$ ($f$ и $g$ – действительные физические величины):

$${\widetilde{\hat{f} \hat{g}} }^{*}=(\tilde{\hat{f}} \tilde{\hat{g}})^{*}=\tilde{\hat{g}}^{*} \tilde{\hat{f}}^{*}=\hat{g}^{+}\hat{f}^{+}$$

Правая часть преобразовалась, как надо. Но каким образом левая часть приводится к $(\hat{f}\hat{g})^{+}$? Ведь оператор $\hat{f}\hat{g}$ не соответствует никакой действительной физической величине, и $(3.16)$ для него не работает.
Заранее спасибо.

[amon]

tech в сообщении #1050551 писал(а):

$$\widetilde{\hat{f} \hat{g}}=\tilde{\hat{f}} \tilde{\hat{g}}$$

Это неверно. Должно быть

$$\widetilde{\hat{f} \hat{g}}=\tilde{\hat{g}} \tilde{\hat{f}}$$

А вообще, проще плясать от определения сопряженного оператора

$$\left\langle\phantom{\hat{A}}\Psi\phantom{\hat{A}}\right\rvert\left.\hat{A}\Phi\right\rangle=\left\langle\hat{A}^+\Psi\right\rvert\left.\Phi\phantom{\hat{A}}\right\rangle$$

(Да простят меня математики!)

[Cos(x-pi/2)]

Да, так и есть.

tech
Вы написали формулу (4.4) с ошибкой: не переставили местами транспонированные множители в правой стороне. В ЛЛ-3 равенство (4.4) гласит:

$$\widetilde{\hat{f} \hat{g}}=\tilde{\hat{g}} \tilde{\hat{f}}$$

и для ясности там ниже словами написано: "оператор, транспонированный с произведением $\hat{f} \hat{g},$ есть произведение транспонированных множителей, написанных в обратном порядке."

Написав правильно (4.4) и взяв комплексно сопряжённое от обех сторон, сразу получаем (4.5), потому что при комплексном сопряжении сомножители уже не меняются местами (а в вашей выкладке они ошибочно поменялись местами):

$$(\tilde{\hat{g}} \tilde{\hat{f}})^{*}=\tilde{\hat{g}}^{*} \tilde{\hat{f}}^{*}$$

и, кроме того, да, используется формула (3.16) применимая и к операторам комплексных величин. Вывод (3.16) как раз начинается со слов (которые Вы, видимо, не заметили): "Формально можно рассматривать также и комплексные физические величины, т.е. величины, собственные значения которых комплексны. Пусть $f$ есть такая величина. ..."

Для действительных же величин справедливо равенство (3.17). Но оно не используется для вывода формул (4.4) и (4.5), так что формулы (4.4) и (4.5) верны в общем случае.

[tech]

Спасибо, понял свои ошибки.

Но опять же нужно знать, что оператор $\hat{f}\hat{g}$ соответствует какой-нибудь комплексной величине, чтобы применить равенство $(3.16)$ к ${\widetilde{\hat{f} \hat{g}} }^{*}$

Про любой ли оператор (в данном случае – про оператор $\hat{f}\hat{g}$) можно сказать, что он соответствует какой-нибудь комплексной физической величине?

То есть все рассуждения параграфа 3 до слов "Как собственные значения вещественной физической величины, так и её средние значения..." можно отнести к формально рассматриваемой комплексной величине?

[Munin]

Две ошибки, скомпенсировавшие друг друга? Скорее, просто опечатка в первой формуле.

amon, а зачем такие большие пробелы? :-)

(Оффтоп)

А, кажется, знаю. Чтобы угловые скобочки были побольше. Но для этого можно:
- (плохой способ) использовать \vphantom (вертикальный, также есть \hphantom);
- задавать высоту скобочек самостоятельно, командами серии \big, \Big, \bigg и \Bigg (в вариантах \bigl, \bigr, \bigm и \big).

$$\biggl\langle\Psi\biggm\vert\hat{A}\Phi\biggr\rangle=\biggl\langle\hat{A}^+\Psi\biggm\vert\Phi\biggr\rangle$$

Вообще рекомендую пролистать и держать под рукой замечательную компактную брошюру
Сюткин. Набор математических формул в LaTeX 2e.

[tech]

Munin в сообщении #1050598 писал(а):

Две ошибки, скомпенсировавшие друг друга?

Я опечатался в первой формуле с транспонированием, а потом невольно подогнал под ответ, поменяв порядок "сомножителей" при взятии комплексно сопряженного.

[Munin]

tech
Во-первых, операторы - это просто операторы. Чтобы к ним применять эти правила, надо знать алгебру операторов, и всё. Им вовсе не обязательно происходить от каких-то физических величин.

Во-вторых, не все операторы соответствуют физической величине. А только эрмитовы, то есть такие, для которых $\hat{f}^+=\hat{f}.$

И не бывает "комплексных физических величин". Физические - они все только действительные. Это как раз взаимосвязано с тем, что их операторы - эрмитовы.

Понять технику операторов вам будет намного проще, если вы будете смотреть на неё по аналогии с линейной алгеброй:
- волновая функция системы $\Psi$ ~ вектор-столбец (или просто вектор) $x$;
- оператор $\hat{f}$ ~ матрица (или линейный оператор) $A$;
- вычисление интеграла $\int\Phi^*\Psi\,dq$ ~ вычисление скалярного произведения $(x,y)$;
- транспонированный оператор $\tilde{\hat{f}}$ ~ транспонированная матрица $A^\mathrm{T}$;
- комплексное сопряжение $\hat{f}^*,\Psi^*$ = комплексное сопряжение $A^*,x^*$;
- сопряжённый оператор $\tilde{\hat{f}}^*$ ~ матрица $(A^\mathrm{T})^*.$
Кроме того, в математике и физике слегка различается терминология и обозначения:
- в математике часто комплексное сопряжение обозначают $\overline{z},$ в физике $z^*$;
- в математике встречается "сдвинутая на одну ступеньку" терминология (слева математические термины, справа физические):

- (просто) сопряжение -> комплексное сопряжение;
- эрмитово сопряжение -> сопряжение.

Впрочем, терминология в разных главах математики тоже отличается; в функциональном анализе она ближе к тому, что употребляется в квантовой механике. И всегда можно точно произнести: комплексное сопряжение или эрмитово.

-- 05.09.2015 11:25:11 --

P. S. В некоторых книгах, особенно старых, используется другой значок: $\hat{f}^\dagger,$ а не $\hat{f}^+.$ Изначально был именно "обелиск" ("кинжал", dagger), а потом он постепенно превратился в "плюсик": его проще рисовать мелом на доске.

[tech]

То есть на равенство $\tilde{\hat{f}}^{*}=\hat{f}^{+}$ можно просто смотреть, как на определение оператора $\hat{f}^{+}$ (вроде в линейной алгебре так и было с преобразованиями)?

Не посоветуете ли какую-нибудь хорошую книгу по линейной алгебре? Кажется, она пригождается все больше и больше, а я ее уже успел порядочно подзабыть.

[Munin]

tech в сообщении #1050641 писал(а):

То есть на равенство $\tilde{\hat{f}}^{*}=\hat{f}^{+}$ можно просто смотреть, как на определение оператора $\hat{f}^{+}$ (вроде в линейной алгебре так и было с преобразованиями)?

Более того, это определение обозначения $\underline{\hphantom{a}}^+.$

tech в сообщении #1050641 писал(а):

Не посоветуете ли какую-нибудь хорошую книгу по линейной алгебре? Кажется, она пригождается все больше и больше, а я ее уже успел порядочно подзабыть.

1. Учебник, по которому учили её вы. А то запутаетесь в разных формулировках, обозначениях и т. п.
2. Википедия. Всегда под рукой.
Что-то более серьёзное имеет смысл брать, только если вы за это возьмётесь очень всерьёз.

И то, по большому счёту (но по очень большому!), квантовая механика пользуется не просто линейной алгеброй, а её продолжением - функциональным анализом, который нацелен на бесконечномерные линейные пространства. Линейная алгебра сама по себе (и как учебный предмет) рассматривает конечномерные пространства, и иногда - утверждения, справедливые и для конечных, и для бесконечных. Но в бесконечномерных есть своя специфика, не всё переносится на них автоматически.

Но, например, для чтения ЛЛ-3 хватит и знания линейной алгебры.

[tech]

И ещё хочу кое-что узнать напоследок. Что такое $\langle \hat{N} \rangle$? В одной задаче требуется показать, что $\langle \hat{N} \rangle \geq 0$

[Munin]

Тут тоже разнобой в нотации. Угловые скобки - это усреднение. Часто оно так обозначается в статфизике. А в ЛЛ-3, соответственно, это черта над буквой/выражением, то есть, с вас требуют $\overline{N}\geqslant 0.$

-- 05.09.2015 19:33:30 --

Но это когда между угловыми скобками нет ни одной вертикальной палочки. А когда есть - это скалярное умножение в бра-кет нотации (в нотации Дирака, см. ЛЛ-3 § 11, в конце; также описано в ФЛФ-8,9, но в немного другом стиле). Примечание: бра-кет нотация употребляется только в квантовой физике.

[amon]

tech в сообщении #1050641 писал(а):

Не посоветуете ли какую-нибудь хорошую книгу по линейной алгебре?

IMHO, И.М.Гельфанд Лекции по линейной алгебре и такая табличка (сейчас меня точно математики съедят)

\begin{tabular}{|c|c|} \hline пространство ${R}^n$ & Гильбертово пространство \\ \hline $\vec{x}$ - вектор & $\left\lvert f \right\rangle$ -

И т.д., и т.п.