Конечная сумма чисел Бернулли ?

[Divergence]

Не получается вычислить конечную сумму

$$ \sum^{m-1}_{k=0} \frac{(-1)^{k}}{(2m-2k-1)! \, (2k+2)!} \, (1- 2^{2k+1}) \, |B_{2k+2}| = \, ? \quad m \in \mathbb{N}, $$

где $B_{n}$ - числа Бернулли. Точнее, хочу доказать, что

$$ \sum^{m-1}_{k=0} \frac{ 2\, (-1)^{k} \, (2m+1)! }{(2m-2k-1)! \, (2k+2)!} \, (1- 2^{2k+1}) \, |B_{2k+2}| + 1 =0$$

для любых натуральных $m \in \mathbb{N}$, т.е. сумма равна $-1/(2 \, (2m+1)!)$.
Проверил лишь для $m=1$ и $m=2$.

Подскажите пожалуйста как вычислить эту сумму?
Тождества из английской википедии (Appendix: Assorted identities) не помогают или неправильно их использую.

[Sonic86]

А где попытки решения?
Начните с использования очевидного обозначения.
Дальше: какие суммы с числами Бернулли, из тех, что вы нашли, похожи на эту сумму? Чем это помогает?
Кроме того, посмотрите внимательно на ряд чисел Бернулли, теперь на Вашу сумму. Сопоставьте, что можно упростить сразу?

[Divergence]

Спасибо за совет. Но тумана в них для меня многовато.

Замена понятна $j=k+1$,

$$ \sum^{m}_{j=1} \frac{(-1)^{j+1}}{(2m-2j+1)! \, (2j)!} \, (1- 2^{2j-1}) \, |B_{2j}| = \, ? \quad m \in \mathbb{N}, $$

В википедии понравилось

$$ -1 + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{2^{n-k+1}}{n-k+1}B_{k}(0) = [n=0] $$

где [''b''] = 1 if ''b'' is true, 0 otherwise. Понятно что $B_k=B_k(0)$.
Но что с этим делать непонятно.
Э эта и другие суммы по четным и нечетным. И что с нечетными делать?
А потом куда смотреть то "посмотрите внимательно на ряд чисел Бернулли"? Медитации не получается - не видно икебаны.

[Sonic86]

Divergence в сообщении #1049786 писал(а):

Замена понятна $j=k+1$,

Пусть так, но я имел ввиду не это. И многочлены Бернулли я еще ниасилил, так что с ними не помогу.

Divergence в сообщении #1049786 писал(а):

В википедии понравилось

$$ -1 + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{2^{n-k+1}}{n-k+1}B_{k}(0) = [n=0] $$

Ага, вот, давайте под нее подгонять. Чем наша формула отличается от этой?

(Хинт1)

Чему равен знак $B_{2k}$?

[Divergence]

Эта сумма содержит четные $B_{2j}$ и нечетные $B_{2j-1}$. И что с нечетными делать?

Знаки $B_{2j}=(-1)^{j+1}|B_{2j}|$. Тогда

$$ \sum^{m}_{j=1} \frac{1}{(2m-2j+1)! \, (2j)!} \, (1- 2^{2j-1}) \, B_{2j} = \, ? \quad m \in \mathbb{N}, $$

[Sonic86]

Divergence в сообщении #1049789 писал(а):

И что с нечетными делать?

А для нечетных чисел Бернулли есть какая-нибудь формула?

Divergence в сообщении #1049789 писал(а):

Знаки $B_{2j}=(-1)^{j+1}|B_{2j}|$.

А теперь, зная это, посмотрите на данную Вам сумму.

[Divergence]

Используя

$$ -1 + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{2^{n-k+1}}{n-k+1}B_{k} = [n=0] $$

разбиваем

$$ -1 + \sum_{j=0}^{m} \binom{2m}{2j} \frac{2^{2m-2j+1}}{2m-2j+1}B_{2j} + \sum_{j=1}^m \binom{2m-1}{2j-1} \frac{2^{2m-2j+1}}{2m-2j+1}B_{2j-1} = [n=0] $$

Для нечетных чисел Бернулли - думал о формуле,

$$ \frac{B_{n+1}}{n+1} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \frac{B_{k}}{n-k+2} $$

для $n=2j$, но справа все равно сумма по четным и нечетным (и к тому же еще одна сумма)
А вы какую подразумеваете?

[Sonic86]

Вы все мои подсказки проигнорили чего-то. Предлагаю их снова

Еще у Вас в 1-й сумме $j$ и $k$ одновременно есть.

[Divergence]

Опечатку поправил.
А какая формула есть для нечетных чисел Бернулли?

[Sonic86]

Divergence в сообщении #1049803 писал(а):

А какая формула есть для нечетных чисел Бернулли?

Да, какая?
Вы числа Бернулли вообще видели? Первые 10 штук?

[Divergence]

ААААААААААААААА !!!!!!!
$B_{2j+1}=0$ $j>1$

-- 01.09.2015, 21:25 --

$$ -1 + \sum_{j=0}^{m} \binom{2m}{2j} \frac{2^{2m-2j+1}}{2m-2j+1}B_{2j} + (-1/2) (2m-1) \frac{2^{2m-1}}{2m-1} = [n=0] $$

$$ -1 + \sum_{j=0}^{m} \binom{2m}{2j} \frac{2^{2m-2j+1}}{2m-2j+1}B_{2j} - 2^{2m-2} = [n=0] $$

[Sonic86]

Ну вот.
Теперь давайте знак чисел Бернулли прикрутим.
А потом давайте вспомним, как мы боремся с линейными множителями очень простого вида в числителях и знаменателях внутри сумм, когда внутри этих же сумм имеется биномиальный коэффициент.

(Оффтоп)

ИМХО, я бы начал упрощать исходную сумму, а не формулу из Вики, потому что так число букоф в процессе уменьшается.

[Divergence]

Возьмем за исходную

$$ \sum^{m}_{j=1} \frac{(2m)!}{(2m-2j+1)! \, (2j)!} \, (1- 2^{2j-1}) \, B_{2j} = ? $$

получим

$$ \sum^{m}_{j=1} \frac{(2m)!}{(2m-2j+1)! \, (2j)!} \, B_{2j} - \sum^{m}_{j=1} \frac{(2m)!}{(2m-2j+1)! \, (2j)!} \, 2^{2j-1} \, B_{2j} = ? $$

Теперь надо воспользоваться вики-формулой

$$ -1 + \sum_{j=0}^{m} \binom{2m}{2j} \frac{2^{2m-2j+1}}{2m-2j+1}B_{2j} + (-1/2) (2m-1) \frac{2^{2m-1}}{2m-1} = [n=0] $$

которую перепишем

$$ \sum_{j=0}^{m} \frac{(2m)!}{(2m-2j+1)! \, (2j)!} \, 2^{-2j+1} \, B_{2j} = 2^{-2m} \, ([n=0] +1) +1/4$$

$$ \sum_{j=1}^{m} \frac{(2m)!}{(2m-2j+1)! \, (2j)!} \, 2^{-2j+1} \, B_{2j} + \frac{(2m)!}{(2m+1)!} \, 2^{1} = 2^{-2m} \, ([n=0] +1) +1/4 $$

Получаем

$$ \sum^{m}_{j=1} \frac{(2m)!}{(2m-2j+1)! \, (2j)!} \, B_{2j} - \frac{1}{4} \Bigl( 2^{-2m} \, ([n=0] +1) +1/4 - \frac{1}{(2m+1)} \, 2^{1} \Bigr) = ? $$

НЕТ не получаем - $ 2^{-2j+1}$ другая степень мешает.
Все утонол. А с первой суммой что делать?

[Divergence]

Используя несколько другие формулы (а именно первую формулу русской википедии, Faulhaber's formula), свел исходную задачу к задаче

$$ \sum_{j=1}^{m} \binom{2m+1}{2j} 2^{2j} B_{2j} =2 \, m , $$

которую не знаю как доказать.
Или необходимо доказать что

$$ \sum_{k=0}^{2m+1} \binom{2m+1}{k} 2^{k} B_{k} = 0 $$

выполняется для любых $m \in \mathbb{N}$, но не знаю как доказать.

[ex-math]

Divergence
Попробуйте через производящие функции. То, что у Вас написано в последней формуле, это производная порядка $2m+1$ в нуле от $\frac {2xe^x}{e^{2x}-1} $, а это четная функция.