mea culpa!
парабола получается
Через

обозначим центр шара; радиус шара

; момент инерции относительно оси, проходящей через центр

; шар однородный, или центрально симметричный.
Через

обозначим точку шара, которой он касается сукна. Предположим, что шар скользит. Сила реакции стола имеет вид

-- коэффициент сухого трения;

-- нормальная к столу составляющая реакции.
Уравнения движения:
![$$J\dot{\boldsymbol \omega}=[\boldsymbol {SP}, \boldsymbol R]=[\boldsymbol {SP},\boldsymbol F],$$ $$J\dot{\boldsymbol \omega}=[\boldsymbol {SP}, \boldsymbol R]=[\boldsymbol {SP},\boldsymbol F],$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/2/102418332f8c397f3b8753c4a4db396682.png)
и

.
Исключая из этих уравнений

находим
![$J\dot{\boldsymbol \omega}=[\boldsymbol {SP}, m\dot{\boldsymbol v}_S]$ $J\dot{\boldsymbol \omega}=[\boldsymbol {SP}, m\dot{\boldsymbol v}_S]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/e/e8ed05549b77d2491a6b842af844d34582.png)
. Интегрируя последнее уравнение, получаем:
![$J\boldsymbol \omega=[\boldsymbol {SP},m\boldsymbol v_S]+J\boldsymbol K$ $J\boldsymbol \omega=[\boldsymbol {SP},m\boldsymbol v_S]+J\boldsymbol K$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/c/cfc652d8e3e7294ecf1752bbb45626b182.png)
, где

-- константа первого интеграла.
Найдем скорость точки

:
![$$\boldsymbol v_P=\boldsymbol v_S+[\boldsymbol \omega,\boldsymbol {SP}]=\Big(\frac{mr^2}{J}+1\Big)\boldsymbol v_S+\boldsymbol W,\quad \boldsymbol W=[\boldsymbol K,\boldsymbol {SP}]$$ $$\boldsymbol v_P=\boldsymbol v_S+[\boldsymbol \omega,\boldsymbol {SP}]=\Big(\frac{mr^2}{J}+1\Big)\boldsymbol v_S+\boldsymbol W,\quad \boldsymbol W=[\boldsymbol K,\boldsymbol {SP}]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/3/463fc311388aea1408f247ed9807ec2c82.png)
Таким образом уравнение движения центра шара имеет вид


-- произвольныйй постоянный вектор, лежащий в горизонтальной плоскости.
Выбирая размерности так, что

полчаем

Откуда

где

-- произвольный единичный вектор и

-- постоянная;

. Все векторы лежат в горизонтальной плоскости;
