ошибка в учебнике Зоммерфельда (?)

[Oleg Zubelevich]

Речь идет об учебнике "Механика", djvu есть в сети. В конце главы 4 имеется раздел, посвященный динамике игры на бильярде. На бильярдный шар со стороны сукна действует сила сухого трения. Зоммерфельд утверждает, что шар можно запустить таким образом, что его центр станет двигаться по параболе, при том, что сила трения, будет постоянной пока скольжение не прекратится. Имеется качественное объяснение данного эффекта, частично сформулированное в виде задач.

Цитата:

...мы приходим к заключению: траектория шара должна быть лежащей в горизонтальной плоскости параболой, поскольку движение его происходит под действием одной единственной силы, постоянной по величине и направлению...

Писал уравнения. Указанного параболического движения с постоянной силой не обнаружил.

[SergeyGubanov]

А Вам парабола нужна в точности или приближённо?

Вот, например, если взять гимнастический обруч, сильно закрутить его в сторону движения "на себя", оттолкнуть от себя, то он скользя по полу будет сначала с замедлением удаляться, потом остановится, потом с ускорением покатиться обратно. Если его оттолкнуть от себя и ещё чуть в сторону, то на небольшом участке траектории когда обруч "замедляется-останавливается-начинает-катиться-обратно" получится что-то напоминающее параболу.

[Oleg Zubelevich]

я думаю, что если бы речь шла о приближенных вещах, это было бы написано явно, это учебник

[epros]

Точно параболу Вы, конечно, не получите. Но поверьте, это -- не ошибка, а именно приблизительное решение. Ибо это -- учебник по физике.

[Oleg Zubelevich]

mea culpa!

парабола получается

Через $S$ обозначим центр шара; радиус шара $r$; момент инерции относительно оси, проходящей через центр $J$; шар однородный, или центрально симметричный.
Через $P$ обозначим точку шара, которой он касается сукна. Предположим, что шар скользит. Сила реакции стола имеет вид

$$\boldsymbol R=\boldsymbol N+\boldsymbol F,\quad \boldsymbol F=-\gamma |\boldsymbol N|\frac{\boldsymbol v_P}{|\boldsymbol v_P|}, $$

$\gamma>0$ -- коэффициент сухого трения; $\boldsymbol N$ -- нормальная к столу составляющая реакции.
Уравнения движения:

$$J\dot{\boldsymbol \omega}=[\boldsymbol {SP}, \boldsymbol R]=[\boldsymbol {SP},\boldsymbol F],$$

и $m\dot{\boldsymbol v}_S=m\boldsymbol g+\boldsymbol R=\boldsymbol F,\quad \boldsymbol N=-m\boldsymbol g$.
Исключая из этих уравнений $\boldsymbol F$ находим $J\dot{\boldsymbol \omega}=[\boldsymbol {SP}, m\dot{\boldsymbol v}_S]$. Интегрируя последнее уравнение, получаем: $J\boldsymbol \omega=[\boldsymbol {SP},m\boldsymbol v_S]+J\boldsymbol K$, где $\boldsymbol K$ -- константа первого интеграла.
Найдем скорость точки $P$:

$$\boldsymbol v_P=\boldsymbol v_S+[\boldsymbol \omega,\boldsymbol {SP}]=\Big(\frac{mr^2}{J}+1\Big)\boldsymbol v_S+\boldsymbol W,\quad \boldsymbol W=[\boldsymbol K,\boldsymbol {SP}]$$

Таким образом уравнение движения центра шара имеет вид

$$m\dot{\boldsymbol v}_S=\boldsymbol F=-\gamma mg\frac{\Big(\frac{mr^2}{J}+1\Big)\boldsymbol v_S+\boldsymbol W}{\Big|\Big(\frac{mr^2}{J}+1\Big)\boldsymbol v_S+\boldsymbol W\Big|}=-\gamma m g\frac{\boldsymbol v_S+\boldsymbol U}{\Big|\boldsymbol v_S+\boldsymbol U\Big|},\quad \boldsymbol U=\frac{\boldsymbol W}{\frac{mr^2}{J}+1}$$

$\boldsymbol W$ -- произвольныйй постоянный вектор, лежащий в горизонтальной плоскости.
Выбирая размерности так, что $g=1/\gamma$ полчаем

$$\dot{\boldsymbol v}_S=-\frac{\boldsymbol v_S+\boldsymbol U}{\Big|\boldsymbol v_S+\boldsymbol U\Big|}.$$

Откуда $\boldsymbol v_S=-\boldsymbol U+(c-t)\boldsymbol e,$ где $\boldsymbol e$ -- произвольный единичный вектор и $c>0$ -- постоянная; $c-t>0$. Все векторы лежат в горизонтальной плоскости; $\boldsymbol r_S(t)=-\boldsymbol Ut+(ct-t^2/2)\boldsymbol e+\boldsymbol r_S(0).$

[Geen]

(Оффтоп)

У снукерного стола сукно неизотропное (ворс начёсан в сторону дома)

[Oleg Zubelevich]

Geen в сообщении #1049770 писал(а):

снукерного стола сукно неизотропное (ворс на

так промоделируйте это, напишите уравнения, может что интересное получится

[atlakatl]

Oleg Zubelevich в сообщении #1049760 писал(а):

$\boldsymbol r_S(t)=-\boldsymbol Ut+(ct-t^2/2)\boldsymbol e+\boldsymbol r_S(0).$

В момент $t_m=c-\boldsymbol U/\boldsymbol e$ скорость шара минимальна, а затем - в силу той же модели - начинает увеличиваться.
Как этот феномен соотнести с реальностью?

[Oleg Zubelevich]

atlakatl в сообщении #1049934 писал(а):

В момент $t_m=c-\boldsymbol U/\boldsymbol e$ скорость шара минимальна, а затем - в силу той же модели - начинает увеличиваться.
Как этот феномен соотнести с реальностью?

для начала объясните как вы один вектор делите на другой?

[atlakatl]

Oleg Zubelevich в сообщении #1049935 писал(а):

как вы один вектор делите на другой?

Да, такая операция не определена. Виноват.
Только вот, если $\boldsymbol U$ и $\boldsymbol e$ разнонаправлены, то получится ли парабола, - или это будет иная кривая?

[nnosipov]

atlakatl в сообщении #1049937 писал(а):

Только вот, если $\boldsymbol U$ и $\boldsymbol e$ разнонаправлены, то получится ли парабола, - или это будет иная кривая?

В роли иной кривой могла бы быть только прямая (это если вектор $\boldsymbol e$ --- нулевой). А так, конечно, только парабола.

[Oleg Zubelevich]

вектор $\boldsymbol e$ нулевым быть не может
парабола бывает тогда и только тогда, когда $\boldsymbol U$ и $\boldsymbol e$ линейно независимы, иначе прямая

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #1049947 писал(а):

когда $\boldsymbol U$ и $\boldsymbol e$ линейно независимы

Да, это условие необходимо добавить.

[Утундрий]

Прямая - это тоже в чём-то парабола...

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим случай, когда бильярдный стол наклонен к горизонтали под углом $\alpha$. Уравнения движения шара имеют вид

$$m\dot{\boldsymbol v}_S=\boldsymbol G+\boldsymbol F,\quad J\dot{\boldsymbol\omega}=[\boldsymbol{SP},\boldsymbol G+\boldsymbol F]$$

, где $\boldsymbol G$ -- ортогональная проекция силы тяжести на плоскость стола, $|\boldsymbol G|=mg\sin\alpha$;

$$\boldsymbol F=-\gamma mg\cos\alpha\frac{\boldsymbol v_P}{|\boldsymbol v_P|}$$

-- сила сухого трения. Как и выше проверяется, что $\boldsymbol K=\boldsymbol\omega-m[\boldsymbol{SP},\boldsymbol v_S]/J$ -- первый интеграл уравнений.
После обезразмеривания:

$$m=1,\quad \gamma g\cos\alpha=1,\quad J=1,$$

получаем $|\boldsymbol G|=\frac{\tg\alpha}{\gamma}$ и

$$\dot{\boldsymbol u}=\boldsymbol G-\frac{\boldsymbol u}{|\boldsymbol u|},\qquad (*)$$

где
$\boldsymbol u=\boldsymbol v_S+\boldsymbol U$, константы $\boldsymbol U,\boldsymbol W$ -- те же, что и выше.

Уравнение (*) интегрируется в квадратурах. Действительно, Введем в плоскости стола ортонормированную систему координат $xy$ так, что $\boldsymbol G=-G\boldsymbol e_y,\quad G=\frac{\tg\alpha}{\gamma},\quad \boldsymbol u=\xi\boldsymbol e_x+\eta\boldsymbol e_y.$
Уравнение (*) приобретает вид

$$\dot \xi=-\frac{\xi}{\sqrt{\xi^2+\eta^2}},\quad \dot \eta=-G-\frac{\eta}{\sqrt{\xi^2+\eta^2}}.$$

В уравнении

$$\frac{d\eta}{d\xi}=G\sigma\sqrt{1+\Big(\frac{\eta}{\xi}\Big)^2}+\frac{\eta}{\xi},\quad \sigma=\mathrm{sign}\,\xi$$

переменные разделяются с помощью замены $\eta(\xi)=\xi f(\xi).$
Однако, формулы получаются весьма громоздкие.
Было бы интересно описать качественно зоопарк траекторий центра шара в этой задаче.