Теорема Шаля

[Sinoid]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, это я недопонимаю или в учебнике ошибка.
Теорема (Шаль). Любое перемещение плоскости есть либо параллельный перенос, либо поворот, либо скользящая симметрия
Перемещение здесь, как обычно, сохраняет расстояния.
Доказательство основано на аксиоме подвижности плоскости. Пусть, рассуждает автор, $\boldsymbol{F}$ - некоторое перемещение, $A_0$ - некоторая точка на плоскости, $A_{1}=\boldsymbol{F}(A_{0})$, A_{2}=\boldsymbol{F}(A_{1})$. Рассмотрим три случая:

$A_2=A_0$;

$A_2\ne A_0$, но точка $A_2$ лежит на прямой $(A_0A_1)$;

точка $A_2$ не лежит на прямой $(A_0A_1)$.

Если в каждом из этих трех случаев мы найдем по два различных перемещения из тех, которые были указаны в формулировке теоремы, то в силу упомянутой выше аксиомы это и будет доказательством теоремы.
В первом случае вопросов не возникает, это поворот вокруг середины отрезка $A_0A_1$ на угол $\pi$ и симметрия относительно прямой, перпендикулярной к отрезку $A_0A_1$ и проходящей через его середину. Ясно. А вот во втором случае автор утверждает, что одним из этих перемещений является параллельный перенос на $\overline{A_{0}A_{1}}$ (это-то верно), а вот вторым искомым перемещением автор называет симметрию относительно прямой, перпендикулярной к прямой $A_0A_2$ и проходящей через точку $A_1$. Это как? Вот на бумаге нарисован отрезок $A_0A_2$, точка $A_1$ - его середина. Через $A_1$ провожу прямую, перпендикулярную..., выполняю симметрию..., при этом точка $A_0$ переходит аж страшно сказать во что. Или мне это все только кажется? Подскажите, пожалуйста.

[iancaple]

Sinoid в сообщении #1048512 писал(а):

Теорема (Шаль). Любое перемещение плоскости есть либо параллельный перенос, либо поворот, либо скользящая симметрия
Перемещение здесь, как обычно, сохраняет расстояния.
Доказательство основано на аксиоме подвижности плоскости. Пусть, рассуждает автор, $\boldsymbol{F}$ - некоторое перемещение, $A_0$ - некоторая точка на плоскости, $A_{1}=\boldsymbol{F}(A_{0})$, A_{2}=\boldsymbol{F}(A_{1})$. Рассмотрим три случая:

$A_2=A_0$;

$A_2\ne A_0$, но точка $A_2$ лежит на прямой $(A_0A_1)$;

точка $A_2$ не лежит на прямой $(A_0A_1)$.

Если в каждом из этих трех случаев мы найдем по два различных перемещения из тех, которые были указаны в формулировке теоремы, то в силу упомянутой выше аксиомы это и будет доказательством теоремы.

то, что их по два на каждый случай-это само по себе ничего не доказывает

Цитата:

В первом случае вопросов не возникает, это поворот вокруг середины отрезка $A_0A_1$ на угол $\pi$ и (или) симметрия относительно прямой, перпендикулярной к отрезку $A_0A_1$ и проходящей через его середину. Ясно. А вот во втором случае автор утверждает, что одним из этих перемещений является параллельный перенос на $\overline{A_{0}A_{1}}$ (это-то верно), а вот вторым искомым перемещением автор называет (скользящую) симметрию относительно прямой перпендикулярной к прямой$A_0A_2$и проходящей через точку $A_1$.

А в этой цитате с помощью зачеркиваний и вставок в скобках исправлено. Возможно , опечатки, и кстати- третий, необсужденный случай -самый мудреный.

[grizzly]

iancaple в сообщении #1048785 писал(а):

то, что их по два на каждый случай-это само по себе ничего не доказывает

Почему? По крайней мере, логика, по которой необходимо найти оба варианта в каждом случае, для меня выглядит вполне разумной.

iancaple в сообщении #1048785 писал(а):

А в этой цитате с помощью зачеркиваний и вставок в скобках исправлено.

Спасибо и от меня, я вчера немного подумал над этой головоломкой, но не нашёл такого красивого решения.

[Sinoid]

grizzly в сообщении #1048788 писал(а):

iancaple в сообщении #1048785

писал(а):
то, что их по два на каждый случай-это само по себе ничего не доказывает
Почему? По крайней мере, логика, по которой необходимо найти оба варианта в каждом случае, для меня выглядит вполне разумной.

Так вот именно. В аксиоме говорится про два перемещения, и автор их находит. Все верно.

iancaple в сообщении #1048785 писал(а):

угол $\pi$ и (или) симметрия

Меня тоже это "и" сбило с толку, я пришел к выводу, что здесь уместнее писать союз "или", только писать не стал, постеснялся, скажите: "У, умник, только и знает, что к буковкам докапываться".

iancaple в сообщении #1048785 писал(а):

а вот вторым искомым перемещением автор называет (скользящую) симметрию относительно прямой

А тогда какой прямой?

iancaple в сообщении #1048785 писал(а):

и кстати- третий, необсужденный случай -самый мудреный.

ИМХО, отнюдь, это простой поворот вокруг точки пересечения двух серединных перпендикуляров.

[iancaple]

grizzly
Sinoid
Я ведь не видел обсуждаемого текста (спасибо, если покажете), а в основном исправлял неверные утверждения предыдущего поста.

Sinoid в сообщении #1048847 писал(а):

iancaple в сообщении #1048785 писал(а):

а вот вторым искомым перемещением автор называет (скользящую) симметрию относительно прямой

А тогда какой прямой?

Прямой $A_0A_1$ с вектором переноса $\vec{A_0A_1}$

Цитата:

iancaple в сообщении #1048785 писал(а):

и кстати- третий, необсужденный случай -самый мудреный.

ИМХО, отнюдь, это простой поворот вокруг точки пересечения двух серединных перпендикуляров.

Или скользящая симметрия относительно средней линии треугольника $A_0A_1A_2$, параллельной $A_0A_2$ с вектором переноса $\frac 12\vec{A_0A_2}$, что сложнее кажется.

[Sinoid]

iancaple в сообщении #1048892 писал(а):

Прямой $A_0A_1$ с вектором переноса $\vec{A_0A_1}$

Точно! Совсем упустил из виду. Хоть и на практике эти перемещения и тождественны, формально-то они разные. Спасибо за подсказку.

[Sinoid]

Sinoid в сообщении #1048922 писал(а):

Хоть и на практике эти перемещения и тождественны

Я это имел в виду для точек прямых $A_0A_1$, в отношении же всей плоскости эти перемещения, конечно, разные.