2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема Шаля
Сообщение27.08.2015, 22:07 


03/06/12
2742
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, это я недопонимаю или в учебнике ошибка.
Теорема (Шаль). Любое перемещение плоскости есть либо параллельный перенос, либо поворот, либо скользящая симметрия
Перемещение здесь, как обычно, сохраняет расстояния.
Доказательство основано на аксиоме подвижности плоскости. Пусть, рассуждает автор, $\boldsymbol{F}$ - некоторое перемещение, $A_0$ - некоторая точка на плоскости, $A_{1}=\boldsymbol{F}(A_{0})$, A_{2}=\boldsymbol{F}(A_{1})$. Рассмотрим три случая:
    $A_2=A_0$;
    $A_2\ne A_0$, но точка $A_2$ лежит на прямой $(A_0A_1)$;
    точка $A_2$ не лежит на прямой $(A_0A_1)$.
Если в каждом из этих трех случаев мы найдем по два различных перемещения из тех, которые были указаны в формулировке теоремы, то в силу упомянутой выше аксиомы это и будет доказательством теоремы.
В первом случае вопросов не возникает, это поворот вокруг середины отрезка $A_0A_1$ на угол $\pi$ и симметрия относительно прямой, перпендикулярной к отрезку $A_0A_1$ и проходящей через его середину. Ясно. А вот во втором случае автор утверждает, что одним из этих перемещений является параллельный перенос на $\overline{A_{0}A_{1}}$ (это-то верно), а вот вторым искомым перемещением автор называет симметрию относительно прямой, перпендикулярной к прямой $A_0A_2$ и проходящей через точку $A_1$. Это как? Вот на бумаге нарисован отрезок $A_0A_2$, точка $A_1$ - его середина. Через $A_1$ провожу прямую, перпендикулярную..., выполняю симметрию..., при этом точка $A_0$ переходит аж страшно сказать во что. Или мне это все только кажется? Подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Шаля
Сообщение28.08.2015, 17:02 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Sinoid в сообщении #1048512 писал(а):
Теорема (Шаль). Любое перемещение плоскости есть либо параллельный перенос, либо поворот, либо скользящая симметрия
Перемещение здесь, как обычно, сохраняет расстояния.
Доказательство основано на аксиоме подвижности плоскости. Пусть, рассуждает автор, $\boldsymbol{F}$ - некоторое перемещение, $A_0$ - некоторая точка на плоскости, $A_{1}=\boldsymbol{F}(A_{0})$, A_{2}=\boldsymbol{F}(A_{1})$. Рассмотрим три случая:
    $A_2=A_0$;
    $A_2\ne A_0$, но точка $A_2$ лежит на прямой $(A_0A_1)$;
    точка $A_2$ не лежит на прямой $(A_0A_1)$.
Если в каждом из этих трех случаев мы найдем по два различных перемещения из тех, которые были указаны в формулировке теоремы, то в силу упомянутой выше аксиомы это и будет доказательством теоремы.
то, что их по два на каждый случай-это само по себе ничего не доказывает
Цитата:
В первом случае вопросов не возникает, это поворот вокруг середины отрезка $A_0A_1$ на угол $\pi$ и (или) симметрия относительно прямой, перпендикулярной к отрезку $A_0A_1$ и проходящей через его середину. Ясно. А вот во втором случае автор утверждает, что одним из этих перемещений является параллельный перенос на $\overline{A_{0}A_{1}}$ (это-то верно), а вот вторым искомым перемещением автор называет (скользящую) симметрию относительно прямой перпендикулярной к прямой$A_0A_2$и проходящей через точку $A_1$.
А в этой цитате с помощью зачеркиваний и вставок в скобках исправлено. Возможно , опечатки, и кстати- третий, необсужденный случай -самый мудреный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Шаля
Сообщение28.08.2015, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
iancaple в сообщении #1048785 писал(а):
то, что их по два на каждый случай-это само по себе ничего не доказывает

Почему? По крайней мере, логика, по которой необходимо найти оба варианта в каждом случае, для меня выглядит вполне разумной.

iancaple в сообщении #1048785 писал(а):
А в этой цитате с помощью зачеркиваний и вставок в скобках исправлено.

Спасибо и от меня, я вчера немного подумал над этой головоломкой, но не нашёл такого красивого решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Шаля
Сообщение28.08.2015, 21:21 


03/06/12
2742
grizzly в сообщении #1048788 писал(а):
iancaple в сообщении #1048785

писал(а):
то, что их по два на каждый случай-это само по себе ничего не доказывает
Почему? По крайней мере, логика, по которой необходимо найти оба варианта в каждом случае, для меня выглядит вполне разумной.

Так вот именно. В аксиоме говорится про два перемещения, и автор их находит. Все верно.
iancaple в сообщении #1048785 писал(а):
угол $\pi$ и (или) симметрия

Меня тоже это "и" сбило с толку, я пришел к выводу, что здесь уместнее писать союз "или", только писать не стал, постеснялся, скажите: "У, умник, только и знает, что к буковкам докапываться".
iancaple в сообщении #1048785 писал(а):
а вот вторым искомым перемещением автор называет (скользящую) симметрию относительно прямой

А тогда какой прямой?
iancaple в сообщении #1048785 писал(а):
и кстати- третий, необсужденный случай -самый мудреный.

ИМХО, отнюдь, это простой поворот вокруг точки пересечения двух серединных перпендикуляров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Шаля
Сообщение28.08.2015, 23:26 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
grizzly
Sinoid
Я ведь не видел обсуждаемого текста (спасибо, если покажете), а в основном исправлял неверные утверждения предыдущего поста.
Sinoid в сообщении #1048847 писал(а):
iancaple в сообщении #1048785 писал(а):
а вот вторым искомым перемещением автор называет (скользящую) симметрию относительно прямой

А тогда какой прямой?
Прямой $A_0A_1$ с вектором переноса $\vec{A_0A_1}$
Цитата:
iancaple в сообщении #1048785 писал(а):
и кстати- третий, необсужденный случай -самый мудреный.

ИМХО, отнюдь, это простой поворот вокруг точки пересечения двух серединных перпендикуляров.
Или скользящая симметрия относительно средней линии треугольника $A_0A_1A_2$, параллельной $A_0A_2$ с вектором переноса $\frac 12\vec{A_0A_2}$, что сложнее кажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Шаля
Сообщение29.08.2015, 00:44 


03/06/12
2742
iancaple в сообщении #1048892 писал(а):
Прямой $A_0A_1$ с вектором переноса $\vec{A_0A_1}$

Точно! Совсем упустил из виду. Хоть и на практике эти перемещения и тождественны, формально-то они разные. Спасибо за подсказку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Шаля
Сообщение29.08.2015, 12:44 


03/06/12
2742
Sinoid в сообщении #1048922 писал(а):
Хоть и на практике эти перемещения и тождественны

Я это имел в виду для точек прямых $A_0A_1$, в отношении же всей плоскости эти перемещения, конечно, разные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group