F-sigma и G-delta

[Mikhail_K]

Нужны интересные визуальные примеры $F_\sigma$ и $G_\delta$ множеств на плоскости (с обычной топологией).
$F_\sigma$-множество - это такое, которое является счётным объединением замкнутых множеств.
$G_\delta$-множество - это такое, которое является счётным пересечением открытых множеств.

Известно, что открытые множества принадлежат и классу $F_\sigma$ (нужно брать объединение их "аппроксимаций изнутри" замкнутыми множествами), и классу $G_\delta$ (очевидным образом). Замкнутые множества тоже принадлежат и классу $F_\sigma$ (очевидным образом), и классу $G_\delta$ (нужно брать пересечение открытых окрестностей этих множеств).

Возьмём на плоскости круг и будем включать или не включать в него различные точки границы. Рассмотрим простейший случай, когда граница круга разбита на конечное число промежутков (открытых, полуоткрытых и замкнутых дуг), которые чередуются: один мы включаем в наше множество, второй не включаем, третий снова включаем и т.д. Внутренность круга всегда полностью включается в множество, внешность полностью не включается. К какому классу и в каких случаях может принадлежать получившееся множество?

Объединяя открытый круг (принадлежащий $F_\sigma$) с конечным числом замкнутых множеств, мы получаем множество нашего вида, в котором замкнутые дуги строго чередуются с открытыми, причём замкнутые входят в множество, а открытые не входят. Значит, множества такого вида принадлежат классу $F_\sigma$. Для меня остаётся открытым вопрос: не принадлежат ли они случайно также классу $G_\delta$? Как это можно установить?

Пересекая замкнутый круг (принадлежащий $G_\delta$) с конечным числом открытых множеств, мы получаем множество нашего вида, в котором замкнутые дуги строго чередуются с открытыми, но на этот раз открытые входят в множество, а замкнутые не входят. Значит, множества такого вида принадлежат классу $G_\delta$. Для меня остаётся открытым вопрос: не принадлежат ли они случайно также классу $F_\sigma$? Как это можно установить?

Также буду рад, если предложите другие интересные визуальные примеры $F_\sigma$ и $G_\delta$ множеств на плоскости.

[INGELRII]

Долго, очень долго искал в этом вопросе подвох (потому и не писал ничего). Вы обычно на форуме задаете настолько зубодробительные вопросы, что я их понять-то не могу, не то что чего-нибудь ответить А тут такой простой и понятный! Может, это я в упор не вижу подводных камней, но... В общем, вместо тысячи слов:

(Оффтоп)

Прошу прощения за кривые руки художника.

Принцип легко обобщается на количество открыто-замкнутых кусков границы более двух. Даже на случай счетного множества таких кусков. По-моему, так.

[iancaple]

Множество точек плоскости, обе координаты которых рациональны, $F_{\sigma }$, но не $G_{\delta }$ (из теоремы Бэра)
Насколько это Вам "визуально"? А то вот еще
Открытый квадрат $[0,1]\times [0,1]$, объединенный с теми точками своей границы, координаты которых рациональны, $F_{\sigma }$, но не $G_{\delta }$.
Напротив,такой же открытый единичный квадрат, объединенный с теми точками своей границы, одна из координат которых иррациональна, $G_{\delta }$ , но не $F_{\sigma }$.

[Mikhail_K]

INGELRII, фактически, Вы нарисовали то, что я словами написал здесь:

Mikhail_K в сообщении #1047395 писал(а):

Объединяя открытый круг (принадлежащий $F_\sigma$) с конечным числом замкнутых множеств, мы получаем множество нашего вида, в котором замкнутые дуги строго чередуются с открытыми, причём замкнутые входят в множество, а открытые не входят. Значит, множества такого вида принадлежат классу $F_\sigma$.
...
Пересекая замкнутый круг (принадлежащий $G_\delta$) с конечным числом открытых множеств, мы получаем множество нашего вида, в котором замкнутые дуги строго чередуются с открытыми, но на этот раз открытые входят в множество, а замкнутые не входят. Значит, множества такого вида принадлежат классу $G_\delta$.

Или я не прав и в Вашем сообщении есть что-то ещё? Я именно такие рисунки и рисовал для себя, когда писал этот текст.
(Не совсем такие; вы сразу объединяете или пересекаете множества в счётном количестве, а я сначала получаю открытый или замкнутый круг таким объединением замкнутых или пересечением открытых, после чего у меня остаётся произвести лишь конечное число операций для получения требуемого. Но результат тот же.)
Замечу только: счётное объединение замкнутых множеств даёт не просто кусок открытой границы, а открытый кусок открытой границы (то есть такой, который не входит в множество, а концы его входят); аналогично, счётное пересечение открытых множеств даёт не просто кусок замкнутой границы, а открытый кусок замкнутой границы (то есть такой, который входит в множество, а концы его не входят).

Таким образом, если все дуги границы, входящие во множество, содержат свои концы, то имеем множество $F_\sigma$. Если все дуги границы, входящие во множество, не содержат своих концов, то имеем множество $G_\delta$. В принципе, это уже хороший результат для визуализации понятий $F_\sigma$ и $G_\delta$. Но остаются вопросы: правда ли, что первые множества принадлежат только $F_\sigma$, но не принадлежат $G_\delta$? Правда ли, что вторые множества принадлежат только $G_\delta$, но не принадлежат $F_\sigma$? Наконец, оставшиеся множества - у которых некоторые из дуг, входящих в множество, содержат концы, а некоторые не содержат, или содержат только один конец - правда ли, что они не принадлежат ни $F_\sigma$, ни $G_\delta$?

Впрочем, допускаю, что эти вопросы могут оказаться слишком сложными, чтобы на них реально было ответить.

iancaple, это только единичные примеры, причём очевидные. Я же имею в виду вот что. Можем ли мы, просто взглянув на множество (пусть не любое; пусть из некоторого, но достаточно широкого класса), просто по его внешнему виду, без каких-либо рассуждений, сразу определить: принадлежит или не принадлежит оно классу $F_\sigma$, принадлежит или не принадлежит оно классу $G_\delta$. Изложенный выше результат есть шаг в этом направлении.

-- 28.08.2015, 21:00 --

INGELRII, да, Ваш способ проще моего.

-- 28.08.2015, 21:22 --

Вот что я имею в виду: http://www.screencapture.ru/file/522BFa4f
Не разобрался, как вставлять картинки в текст.

[Mikhail_K]

И мои опасения были не напрасными! Первоначальная гипотеза была неверной.

Правильный ответ - вот: все множества нашего вида (круги с дугами границы, входяшими и не входящими в множество) независимо от вида дуг принадлежат и классу $F_\sigma$, и множеству $G_\delta$. То есть это множества и первого, и второго, и даже третьего вида выше.

См рисунок! Там слева некоторые множества представлены как $F_\sigma$, а справа те же самые множества - как $G_\delta$.
http://www.screencapture.ru/file/dc0BAA51

[Brukvalub]

Скажите, а вы знаете, где и как в математике используется такая характеристика множества, как его топологический тип?
К чему я спрашиваю: вот вы хотите научиться

Mikhail_K в сообщении #1048834 писал(а):

просто взглянув на множество (пусть не любое; пусть из некоторого, но достаточно широкого класса), просто по его внешнему виду, без каких-либо рассуждений, сразу определить: принадлежит или не принадлежит оно классу $F_\sigma$, принадлежит или не принадлежит оно классу $G_\delta$.

А как это может пригодиться в "большой" математике? В каких ее областях и как возникают множества, для которых интересна и содержательна задача определения их топологического типа?
Вот я неоднократно встречал такие множества, и даже получил в одной из своих статей новый результат как раз о топ. типе некоторого ранее изучавшегося множества, но ни разу не видел, чтобы кто-то интересовался топ. типом множества, "нарисованного от руки".
Не отрицаю, что в качестве упражнения, помогающего привыкнуть к понятию топ. типа, ваши здесь рассуждения могут быть полезны, но ставить перед собой цель по внешнему виду, без каких-либо рассуждений, сразу определить топ. тип - какая-то бессмыслица.

[Mikhail_K]

Да, в качестве упражнения, помогающего привыкнуть. Ну и в качестве интересной головоломки.

Мне кажется, для того чтобы уметь работать с любым математическим понятием, нужно иметь какие-то его интуитивные ассоциации. В том числе визуальные. Хотя не знаю, для всех ли людей это верно.

И вообще. Прочитал я о топологическом типе. Неужели не интересно знать, какие из самых простейших множеств, которые перед глазами, имеют какой топологический тип? Исключая тривиальные примеры вроде открытого и замкнутого круга - они не могут являться хорошей иллюстрацией к этому понятию. Мне кажется, что без этого знания приступать к определению топологического типа более сложных множеств, пусть и полезных в "большой математике", как-то странно.

[Brukvalub]

Mikhail_K в сообщении #1048885 писал(а):

Мне кажется, что без этого знания приступать к определению топологического типа более сложных множеств, пусть и полезных в "большой математике", как-то странно.

Это вам только кажется. На самом деле, в "большой" математике те множества, топологический тип которых интересен, возникают совсем не как геометрические образы, поэтому нарабатывать умение "увидеть" топ. тип по рисунку - малополезный навык.

[Mikhail_K]

Brukvalub в сообщении #1048875 писал(а):

Скажите, а вы знаете, где и как в математике используется такая характеристика множества, как его топологический тип?

Кстати, кое-что знаю. Я согласен, что работать с понятием, совсем не зная его применений, довольно странно.

Brukvalub в сообщении #1048887 писал(а):

Это вам только кажется. На самом деле, в "большой" математике те множества, топологический тип которых интересен, возникают совсем не как геометрические образы, поэтому нарабатывать умение "увидеть" топ. тип по рисунку - малополезный навык.

Несмотря на это, задам всем любителям головоломок (и Вам, раз уж Вы знаток в определении топологического типа), такой вопрос: мне нужны визуальные примеры множеств, являющихся $F_\sigma$, но не $G_\delta$, или $G_\delta$, но не $F_\sigma$. Есть ли такие примеры среди "нарисованных от руки" множеств?

[Someone]

Mikhail_K в сообщении #1048958 писал(а):

мне нужны визуальные примеры множеств, являющихся $F_\sigma$, но не $G_\delta$, или $G_\delta$, но не $F_\sigma$. Есть ли такие примеры среди "нарисованных от руки" множеств?

Понятие "множество, нарисованное от руки", является несколько неопределённым. Но думаю, что нет. Если не использовать уж очень серьёзных условностей. Хотя словами такие множества описать можно.

[Mikhail_K]

Someone в сообщении #1049013 писал(а):

Понятие "множество, нарисованное от руки", является несколько неопределённым. Но думаю, что нет.

Думаю, определить можно так: "множество, нарисованное от руки" - это конечное объединение непересекающихся множеств, гомеоморфных открытым или замкнутым шарам разной размерности. То есть в составе такого множества могут быть одновременно интервалы, отрезки, круги, шары, приклеенные друг к другу. Обсуждавшиеся выше "открыто-замкнутые круги" принадлежат этому классу.
Да, по-видимому, Вы правы и все такие множества принадлежат одновременно $F_\sigma$ и $G_\delta$.

-- 29.08.2015, 14:57 --

В принципе, это очевидно даже.