2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория вероятностей. Остаточное событие.
Сообщение27.08.2015, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Пусть имеется последовательность случайных величин $\xi_k$. Обозначим $\sigma(\xi_n,\xi_{n+1},\ldots)$ наименьшую $\sigma$-алгебру порожденную соответствующими случайными величинами $\xi_n, \xi_{n+1}, \ldots$ (образована конечными пересечениями прообразов борелевских множеств).
Событие $A$ называется остаточным, если $A \in \sigma(\xi_n,\xi_{n+1},\ldots)$ для любого $n$.
Утверждается, что событие, состоящее в том, что ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\xi_k$ сходится, является остаточным. Если использовать интуитивное представление об остаточном событии, то все очевидно - сходимость ряда не зависит от первых членов. Но у меня пока эта интуиция не вяжется с тем, что происходит на деле.
Сходимость ряда $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\xi_k$ равносильна сходимости его хвостов $\sum\limits_{k=N}^{\infty}\xi_k$ к нулю. А последнее событие для всякого $N$ описывается как $$\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n_0=N}^{\infty}\bigcap\limits_{k=n_0}^{\infty}\{\left|\sum\limits_{s=k}^{\infty}\xi_s \right| < \frac1n\}$$
Событие $\{\left|\sum\limits_{s=k}^{\infty}\xi_s \right| < \frac1n\}$ аналогично сводится к счетным объединениям/пересечениям множеств в условии которых стоят уже конечные суммы $\{\left|\sum\limits_{s=k}^{M}\xi_s \right| < \theta\}$ ($\theta$ - некоторое рациональное). Теперь, если случайные величины целочисленные, то достаточно перебрать всевозможные значения величин $\xi_k, \ldots, \xi_M$, которые дают нужное неравенство и таким образом получим, что событие $A$ - остаточное. Когда случайные величины принимают вещественные значения, то будем перебирать отрезки с рациональными концами значений величин $\{\xi_s \in [p_s;q_s]\}$, такие что $-\theta<\sum p_s \leq \sum q_s < \theta$. Получим $\{\left|\sum\limits_{s=k}^{M}\xi_s \right| < \theta\} = \bigcup \bigcap_{s=k}^{M}\{\xi_s \in [p_s;q_s] \}$, где объединение берется по всем наборам $p_s, \ldots, p_M$ и $q_s, \ldots, q_M$ с оговоренным свойством.
В общем, пока всё это набирал, вопрос уже отпал :-). Так что задам другой. Можно ли всё это обосновать как-то проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Остаточное событие.
Сообщение27.08.2015, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Незачем складывать все яйца в одну корзину. Случайные величины $\xi_k, \xi_{k+1}, \ldots,\xi_M$ измеримы относительно одной и той же сигма-алгебры $\sigma\{\xi_k,\xi_{k+1},\ldots\}\subseteq \sigma\{\xi_N,\xi_{N+1},\ldots\}$. И модуль их суммы тоже измерим относительно неё же. Поэтому событие $\left\{\left|\sum\limits_{s=k}^M\xi_s\right|<\frac1n\right\}$ принадлежит этой сигма-алгебре, а значит, и $\sigma\{\xi_N,\xi_{N+1},\ldots\}$.

(Это Вы и без меня знаете)

Измеримость суммы с.в.:
$$\{\xi + \eta < x\}=\{\xi < x- \eta\}=\bigcup_{q\in\mathbb Q}\{\xi<q\}\cap\{q<x-\eta\}\in \sigma\{\xi,\, \eta\}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Остаточное событие.
Сообщение28.08.2015, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Да, действительно. Непрерывная функция от измеримых случайных величин, тоже измеримая случайная величина.
Спасибо Вам за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group